[論文レビュー] Connected (graded) Hopf algebras

Ken A. Brown, Paul Gilmartin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、標数0の代数的閉体上での連結（階数付き）ホップ代数を調査し、有限なゲルファンド＝キリロフ次元をもつ連結階数付きホップ代数が、ノエター的整域であり、コーン＝マコーレイ、アーツィン＝シュレル正則的で、グローバル次元がそのGK次元に等しいカルビ＝ヤウ的であることを確立している。主な結果として、任意のリー代数の普遍包あらわし代数とは同型でない5次元ホップ代数の構成がなされている。

ABSTRACT

We study algebraic and homological properties of two classes of infinite dimensional Hopf algebras over an algebraically closed field k of characteristic zero. The first class consists of those Hopf k-algebras that are connected graded as algebras, and the second class are those Hopf k-algebras that are connected as coalgebras. For many but not all of the results presented here, the Hopf algebras are assumed to have finite Gel'fand-Kirillov dimension. It is shown that if the Hopf algebra H is a connected graded algebra of finite Gel'fand-Kirillov dimension n, then H is a noetherian domain which is Cohen-Macaulay, Artin-Schelter regular and Auslander regular of global dimension n. It has S^2 = Id_H, and is Calabi-Yau. Detailed information is also provided about the Hilbert series of H. Our results leave open the possibility that the first class of algebras is (properly) contained in the second. For this second class, the Hopf k-algebras of finite Gel'fand-Kirillov dimension n with connected coalgebra, the underlying coalgebra is shown to be Artin-Schelter regular of global dimension n. Both these classes of Hopf algebra share many features in common with enveloping algebras of finite dimensional Lie algebras. For example, an algebra in either of these classes satisfies a polynomial identity only if it is a commutative polynomial algebra. Nevertheless, we construct, as one of our main results, an example of a Hopf k-algebra H of Gel'fand-Kirillov dimension 5, which is connected graded as an algebra and connected as a coalgebra, but is not isomorphic as an algebra to U(g) for any Lie algebra g.

研究の動機と目的

• 連結階数付き代数として、あるいは連結余代数としてのホップ代数の代数的およびホモロジー的性質を分析すること。
• このようなホップ代数において、有限なゲルファンド＝キリロフ次元がもたらす構造的帰結を同定すること。
• 連結階数付きホップ代数が、任意のリー代数の普遍包あらわし代数に同型であるかどうかを調査すること。
• これらのホップ代数のホモロジー的性質を、普遍包あらわし代数および可換多項式代数のそれらと比較すること。
• 有限GK次元をもつホップ代数の明示的例を、任意のU(𝔤)とは同型でないものとして構成すること

提案手法

• 無限次元ホップ代数の有限成長を分類するためにゲルファンド＝キリロフ（GK）次元の使用。
• ホモロジー代数的道具の応用：アーツィン＝シュレル正則性、オースランド正則性、およびコーン＝マコーレイ性質。
• ココミュタティブな連結ホップ代数を普遍包あらわし代数として特徴づけるカルティエ＝コスタンツの定理の適用。
• 生成元と関係式を用いた5次元ホップ代数の構成、および正確に定義された余乗法、余単位、反数の定義。
• 生成子におけるcoassociativityおよび余単位条件を用いた代数的および余代数的公理の検証。
• 非可換かつ非ココミュタティブな例を分析するため、普遍包あらわし代数構造の双対の使用

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限GK次元をもつ連結階数付きホップ代数のホモロジー的性質（例えば正則性、グローバル次元）は何か？
• RQ2 有限次元リー代数の普遍包あらわし代数のそれらと比較して、連結階数付きホップ代数の性質はどうなるか？
• RQ3 有限GK次元をもつ連結階数付きホップ代数が、任意のリー代数𝔤に対してU(𝔤)とは同型でないことがあるか？
• RQ4 代数としても、余代数としても連結であるが、任意のU(𝔤)とは同型でないホップ代数の構造は何か？
• RQ5 連結ホップ代数が多項式的恒等式を満たす条件は何か？

主な発見

• 有限ゲルファンド＝キリロフ次元nをもつ連結階数付きホップ代数は、ノエター的整域であり、コーン＝マコーレイ、アーツィン＝シュレル正則的で、グローバル次元nのオースランド正則的である。
• そのような代数はS² = Idを満たし、次元nのカルビ＝ヤウ的である。
• 有限GK次元をもつ連結階数付きホップ代数のヒルベルト級数は有理式であり、特定の対称性を満たす。
• 連結ホップ代数が多項式的恒等式を満たすための必要十分条件は、それが可換多項式代数であることである。
• 任意のリー代数𝔤に対してU(𝔤)とは同型でない5次元の連結階数付きホップ代数が存在する。
• 有限GK次元をもつ連結ホップ代数の基底となる余代数は、グローバル次元nのアーツィン＝シュレル正則的である。