[論文レビュー] Finite-dimensional Hopf algebras over the smallest non-pointed basic Hopf algebra

Rongchuan Xiong|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特徴が零の下で、最小の非点的基底ホップ代数 𝒦 上の有限次元ホップ代数を、厳密に階数付き図形の仮定の下で分類する。非対角型の新しい有限次元ニコルズ代数を同定し、一般化されたリフティング法を用いて、双対チェバリ条件を満たさない新しい有限次元ホップ代数を構成する。128次元の例と 2^n 次元の外積代数に対して、明示的な生成子と関係式を用いる。

ABSTRACT

We classify finite-dimensional Hopf algebras over an algebraically closed field of characteristic zero whose Hopf coradcial is isomorphic to the smallest non-pointed basic Hopf algebra, under the assumption that the diagrams are strictly graded. In particular, we obtain some new Nichols algebras of non-diagonal type and new finite-dimensional Hopf algebras without the dual Chevalley property.

研究の動機と目的

• 特徴が零の下で、最小の非点的基底ホップ代数 𝒦 上の有限次元ホップ代数を、厳密に階数付き図形の仮定の下で分類すること。
• 𝒦 上の非対角型の新しい有限次元ニコルズ代数の例を構成すること。
• 双対チェバリ性質を満たさない新しい有限次元ホップ代数の明示的な生成子と関係式を提供すること。
• 𝒦 上の半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群に一般化されたリフティング法を拡張し、非対角型表現を含むこと。
• このようなホップ代数の図形が厳密に階数付きであり、特定の半単純加群上のニコルズ代数と同型であることを確立すること。

提案手法

• アンドルスキーイチスキーとクアドラの一般化されたリフティング法を用い、余核フィルトレーションの代わりに標準的フィルトレーションを導入し、図形を 𝒦 上のヤッター＝ドリンフェルドカテゴリ内の階数付きbraidedホップ代数として定義する。
• ドリンフェルド双対 𝒟(𝒦^cop) を用いて、{}^𝒦_𝒦𝒴𝒟 における単純対象を分類し、1次元のものが4つ、2次元のものが12個の既約表現を同定する。
• 半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群上の有限次元ニコルズ代数の分類を適用し、このような代数が対角型ニコルズ代数の分裂拡張として生じることを用いる。
• 1次元および2次元加群の直和上のニコルズ代数の明示的な生成子と関係式を導出し、非自明なブレーディングと高次の冪零性を含む関係を含む。
• 図形の階数付き双対を用いて、図形がその1次部分によって生成されることを検証し、厳密な階数付き性を保証し、リフティング技法による分類を可能にする。
• GAPによる計算的検証を用い、ニコルズ代数の関係を検証し、パrameter μ, ν を用いてリフティングを構成し、すべての可能なホップ代数構造を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小の非点的基底ホップ代数 𝒦 上の有限次元ホップ代数で、厳密に階数付き図形を持ち、かつ対角型でないものはどれか？
• RQ2 半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群上の有限次元ニコルズ代数の完全な生成子と関係式のセットは何か？
• RQ3 一般化されたリフティング法を用いて、𝒦 上で双対チェバリ性質を満たさない新しい有限次元ホップ代数を構成できるか？
• RQ4 𝒦 上のどの半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群が有限次元ニコルズ代数をもたらし、それぞれの次元と定義関係は何か？
• RQ5 このようなホップ代数の図形は厳密に階数付きであるか？ そして、これは関連するニコルズ代数が1次部分によって生成されることを意味するか？

主な発見

• 半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群上の有限次元ニコルズ代数は、加群が1次元加群の直和で、i ∈ {1,3} に対する特性 χ^i を持つ場合を除き、非対角型である。
• ⊕_{k=1}^n 𝔸_{χ^{i_k}} 上のニコルズ代数は、外積代数 ⋀(⊕_{k=1}^n 𝔸_{χ^{i_k}}) に同型であり、次元は 2^n である。
• V_{1,j} および V_{2,j} (j ∈ {1,3}) 上のニコルズ代数は次元8であり、関係式 x^4 = 0, x^2 + 2ξy^2 = 0, xy + yx = 0（または x^2 = 0, yx + ξ^j xy = 0, y^4 = 0）で定義される。
• V_{1,j} ⊕ 𝔸_χ および V_{2,j} ⊕ 𝔸_{χ^3} 上のニコルズ代数は次元128であり、非自明なブレーディングと高次の冪零性を含む7つの関係式の系で定義される。
• V_{1,1} ⊕ V_{1,3} 上のニコルズ代数（同様に V_{2,1} ⊕ V_{2,3}）は次元128であり、9つの関係式で定義され、x^4 = 0, z^4 = 0, x^2 + 2ξy^2 = 0, z^2 + 2ξt^2 = 0 に加え、生成子間の非自明なクロス関係式を含む。
• すべての厳密に階数付き図形を持つ 𝒦 上の有限次元ホップ代数は、これらのニコルズ代数のリフティングであり、μ, ν ∈ 𝕜 によってパラメトライズされ、同型類は無限小ブレーディングによって決定される。