[論文レビュー] Connectedness modulo a topological property

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、『位相的性質 $\mathscr{P}$ に関する接続性』を導入し、標準的な接続性を一般化する。ここで $\mathscr{P}$ は、空の閉包の代わりに用いられ、例えば擬コンパクト性のような性質である。主な結果として、完全正則空間において、$\mathscr{P}$-接続性（$\mathscr{P}$ = 擬コンパクト性の場合）は、$\mathrm{cl}{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ の接続性と同値であり、この性質は完全開連続な全射写像のもとで保存される。

ABSTRACT

Let ${\mathscr P}$ be a topological property. We say that a space $X$ is ${\mathscr P}$-connected if there exists no pair $C$ and $D$ of disjoint cozero-sets of $X$ with non-${\mathscr P}$ closure such that the remainder $X\backslash(C\cup D)$ is contained in a cozero-set of $X$ with ${\mathscr P}$ closure. If ${\mathscr P}$ is taken to be "being empty" then ${\mathscr P}$-connectedness coincides with connectedness in its usual sense. We characterize completely regular ${\mathscr P}$-connected spaces, with ${\mathscr P}$ subject to some mild requirements. Then, we study conditions under which unions of ${\mathscr P}$-connected subspaces of a space are ${\mathscr P}$-connected. Also, we study classes of mappings which preserve ${\mathscr P}$-connectedness. We conclude with a detailed study of the special case in which ${\mathscr P}$ is pseudocompactness. In particular, when ${\mathscr P}$ is pseudocompactness, we prove that a completely regular space $X$ is ${\mathscr P}$-connected if and only if $cl_{βX}(βX\backslash\upsilon X)$ is connected, and that ${\mathscr P}$-connectedness is preserved under perfect open continuous surjections. We leave some problems open.

研究の動機と目的

• 位相的性質 $\mathscr{P}$ に関する『接続性のモジュロ』を導入し、空の閉包という条件を $\mathscr{P}$ に置き換えることで、接続性の一般化を図ること。
• 特に被覆型性質に対して、$\mathscr{P}$ が満たす弱い条件のもとで、完全正則な $\mathscr{P}$-接続性空間を特徴付けること。
• $\mathscr{P}$-接続性部分空間の和集合が、再び $\mathscr{P}$-接続性を保つための条件を調査すること。
• 特に $\mathscr{P}$ が擬コンパクト性の場合に、$\mathscr{P}$-接続性を保存する連続写像のクラスを研究すること。
• 特に擬コンパクト性の場合に、Stone–Čech 係数化を用いた $\mathscr{P}$-接続性の位相的特徴付けを確立すること。

提案手法

• $\mathscr{P}$-接続性を、閉包が $\mathscr{P}$ を満たさない互いに交わらないコゼロ集合 $C$ と $D$ が存在せず、かつ $X \setminus (C \cup D)$ が $\mathscr{P}$ を満たすコゼロ集合に含まれるという条件によって定義する。
• Stone–Čech 係数化 $\beta X$ と Hewitt の実コンパクト化 $\upsilon X$ を用いて、$\beta X \setminus \upsilon X$ の $\beta X$ における閉包を分析する。
• 写像 $f: X \to Y$ が $f_\beta[\beta X \setminus \upsilon X] \subseteq \beta Y \setminus \upsilon Y$ を満たすとき、そのような写像をハイパー実写像と呼び、$\mathscr{P}$-接続性の像の保存性を研究する。
• $\mathscr{P}$-接続性（$\mathscr{P}$ が擬コンパクト性の場合）が、$\mathrm{cl}{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ が連結であることと同値であることを証明する。
• コゼロ集合、ゼロ集合、および $\beta X$ と $\beta Y$ への連続拡張の性質を用いて、位相的構造と $\mathscr{P}$-接続性との関係を結びつける。
• 完全開連続な全射写像がハイパー実写像であることを活用し、$\beta X \setminus \upsilon X$ の連結性が $\beta Y \setminus \upsilon Y$ に移されるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた位相的性質 $\mathscr{P}$ に対して、完全正則空間 $X$ がいつ $\mathscr{P}$-接続性をもつのか。特に $\mathscr{P}$ が擬コンパクト性の場合に。
• RQ2 $\mathscr{P}$-接続性部分空間の和集合が、再び $\mathscr{P}$-接続性を保つための条件は何か。
• RQ3 どのような連続写像のクラスが $\mathscr{P}$-接続性を保存するのか。特に完全開連続な全射写像の場合に。
• RQ4 Stone–Čech 係数化 $\beta X$ を用いて、$\mathscr{P}$-接続性をどのように特徴付けられるか。
• RQ5 $\mathscr{P}$-接続性の性質は、特に $\mathscr{P}$ が擬コンパクト性の場合に、空間の積のもとで保存されるのか。

主な発見

• 完全正則空間 $X$ が擬コンパクト性-接続性をもつための必要十分条件は、$\mathrm{cl}{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ が連結であることである。
• 完全開連続な全射写像のクラスは、擬コンパクト性-接続性を保存する。その理由は、対応する $\beta$-拡張が $\beta X \setminus \upsilon X$ を $\beta Y \setminus \upsilon Y$ に全射的に写すからである。
• $\mathscr{P}$ = 擬コンパクト性の場合、$\mathscr{P}$-接続性は、$\beta X \setminus \upsilon X$ の $\beta X$ における閉包が連結であることによって、位相的に特徴付けられる。これは強い構造的基準を提供する。
• $\mathscr{P}$-接続性はハイパー実写像のもとで保存され、完全開連続な全射写像がハイパー実写像であることから、このクラスの写像は $\mathscr{P}$-接続性を保存する。
• $\mathscr{P}$-接続性の特徴付け（$\mathrm{cl}{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ が連結であること）は、$\mathscr{P}$ に弱い条件が課せられる場合にも成り立つ。擬コンパクト性もその例である。
• 本論文では、$\mathscr{P}$-接続性空間の積が再び $\mathscr{P}$-接続性を保つかどうかは未解決のまま残されている。特に擬コンパクト性の場合に。