[論文レビュー] Connecting Gröbner Bases Programs with Coq to do Proofs in Algebra, Geometry and Arithmetics

Loïc Pottier|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、外部のグレブナー基底ツール（F4、GB、gbcoq）を統合するCoq戦略gbを提示する。これにより、代数、幾何、算術分野における証明の自動化が可能になる。ヒルベルトのアフィンゼロ定理と証明証明書に基づく証明生成を活用することで、多項式等式および不等式に関する効率的かつ形式的に検証可能な推論が実現され、特定のベンチマークにおいてhol-lightを大きく上回る性能を発揮しながら、認証計算により正しさを保証する。

ABSTRACT

We describe how we connected three programs that compute Groebner bases to Coq, to do automated proofs on algebraic, geometrical and arithmetical expressions. The result is a set of Coq tactics and a certificate mechanism (downloadable at http://www-sop.inria.fr/marelle/Loic.Pottier/gb-keappa.tgz). The programs are: F4, GB \, and gbcoq. F4 and GB are the fastest (up to our knowledge) available programs that compute Groebner bases. Gbcoq is slow in general but is proved to be correct (in Coq), and we adapted it to our specific problem to be efficient. The automated proofs concern equalities and non-equalities on polynomials with coefficients and indeterminates in R or Z, and are done by reducing to Groebner computation, via Hilbert's Nullstellensatz. We adapted also the results of Harrison, to allow to prove some theorems about modular arithmetics. The connection between Coq and the programs that compute Groebner bases is done using the "external" tactic of Coq that allows to call arbitrary programs accepting xml inputs and outputs. We also produce certificates in order to make the proof scripts independant from the external programs.

研究の動機と目的

• 高パフォーマンスなグレブナー基底計算を用いて、Coqにおける多項式等式および不等式の自動的かつ形式的に検証可能な証明を可能にすること。
• gbcoqなどのネイティブCoqベースのグレブナー基底ツールの性能制限を克服するため、F4 や GB などの高速な外部プログラムと連携すること。
• 証明スクリプトを外部計算から分離する証明証明書メカニズムを設計し、信頼性と再利用可能性を確保すること。
• イデアルの属する性質とグレブナー基底技術を用いて、整数論的命題やモジュラ演算をCoqの推論能力に拡張すること。
• 代数、幾何、算術分野におけるベンチマークを通じて、本手法の実用的効率性と正しさを実証すること。

提案手法

• Coqの外部戦略を用いて、XML入力を受けるプログラム（F4、GB、gbcoq）を呼び出し、グレブナー基底計算を実行する。
• ヒルベルトのアフィンゼロ定理を適用し、多項式等式および不等式の証明問題をイデアルの属する性質の問題に還元する。
• 2つの主要な手法を採用する：(1) $ tP_i - e_i, e_ie_j, e_it $ で生成されるイデアルのグレブナー基底を計算して $ \sum Q_iP_i = 1 $ を証明する。 (2) 新たな変数 $ z $ を用いて $ P^r = \sum Q_iP_i $ を証明する。この場合、$ 1 = \sum h_iP_i + h(1 - zP) $ を用いる。
• 特定の証明タスクに最適化されたgbcoqプログラムを調整し、Coq内での正しさを保証する。
• 証明証明書をXML形式で生成し、Coqスクリプトに埋め込むことで、独立した証明再検証を可能にする。
• 実数および整数の定義域をサポートする専用戦略を提供する：gbR は実多項式、gbZ は整数算術を対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高パフォーマンスなグレブナー基底ツールを、Coqにおける自動証明生成のために効果的かつ安全に統合できるか？
• RQ2 Coqのような証明アシスタント内において、計算量の大きなグレブナー基底計算の正しさをどのように保証できるか？
• RQ3 証明証明書に基づく証明生成は、証明の再実行および検証時に外部プログラムへの依存を低減できるか？
• RQ4 ネイティブCoqベースのソルバーよりも、外部ツールの統合が代数的および算術的推論のパフォーマンスにどの程度向上効果をもたらすか？
• RQ5 F4、GB、gbcoq は、実世界の数学的問題をCoqで解く際、実際のところどの程度の性能を示すか？

主な発見

• F4 および GB を駆動とする gb 戦略は、複雑な代数的恒等式（3次、4次、5次対称多項式恒等式など）を1秒未塔で証明でき、同じタスクにおいて hol-light を大きく上回る性能を発揮した。
• 幾何学的命題であるパプスの定理の証明において、F4 は失敗、GB は9秒、gbcoq は3秒、hol-light は77秒を要した。これにより、認証済みアプローチの効率性が明確に示された。
• 証明証明書の使用により、証明スクリプトが外部プログラムに依存しなくなり、迅速かつ信頼性の高い証明再検証が可能になった。
• gbZ 戦略は、整除性、GCD、互いに素性に関する整数論的命題を、イデアルの属する性質とグレブナー基底計算を用いて正しく証明できた。
• Coqの外部戦略を介した外部ツールの統合により、代数、幾何、算術分野におけるスケーラブルで正確かつ効率的な証明が可能となり、hol-light などの既存システムと同等またはそれ以上の性能を発揮した。