[論文レビュー] Connecting Knowledge Compilation Classes and Width Parameters

Antoine Amarilli, Florent Capelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、知識コンパイルクラスとブール回路における構造的幅パラメータの間のきつい関係を確立し、有界な木幅を持つ回路が、木幅に関して単一指数的依存を示しながら、線形時間でd-SDNNFにコンパイル可能であることを示している。同様に、有界なパス幅を持つ回路は、同じ複雑さでuOBDDにコンパイル可能である。また、下界についても一致する結果を示しており、定数のアリティと次数を持つ単調なDNFおよびCNFは、それぞれ木幅とパス幅に関して指数的サイズのd-SDNNFおよびuOBDDを必要とすることを示しており、これらの幅パラメータが、これらのクラスへのコンパイル可能性を正確に特徴づけていることを示している。

ABSTRACT

The field of knowledge compilation establishes the tractability of many tasks by studying how to compile them to Boolean circuit classes obeying some requirements such as structuredness, decomposability, and determinism. However, in other settings such as intensional query evaluation on databases, we obtain Boolean circuits that satisfy some width bounds, e.g., they have bounded treewidth or pathwidth. In this work, we give a systematic picture of many circuit classes considered in knowledge compilation and show how they can be systematically connected to width measures, through upper and lower bounds. Our upper bounds show that bounded-treewidth circuits can be constructively converted to d-SDNNFs, in time linear in the circuit size and singly exponential in the treewidth; and that bounded-pathwidth circuits can similarly be converted to uOBDDs. We show matching lower bounds on the compilation of monotone DNF or CNF formulas to structured targets, assuming a constant bound on the arity (size of clauses) and degree (number of occurrences of each variable): any d-SDNNF (resp., SDNNF) for such a DNF (resp., CNF) must be of exponential size in its treewidth, and the same holds for uOBDDs (resp., n-OBDDs) when considering pathwidth. Unlike most previous work, our bounds apply to any formula of this class, not just a well-chosen family. Hence, we show that pathwidth and treewidth respectively characterize the efficiency of compiling monotone DNFs to uOBDDs and d-SDNNFs with compilation being singly exponential in the corresponding width parameter. We also show that our lower bounds on CNFs extend to unstructured compilation targets, with an exponential lower bound in the treewidth (resp., pathwidth) when compiling monotone CNFs of constant arity and degree to DNNFs (resp., nFBDDs).

研究の動機と目的

• 知識コンパイルクラスを、木幅やパス幅といった構造的幅測度と系統的に関連付けること。
• データベースクエリ評価や確率的推論で用いられる、幅に基づく回路クラスと知識コンパイルの間のギャップを埋めること。
• 木幅とパス幅が、単調なDNFおよびCNFを構造的ターゲットにコンパイルする際、単に tractable なパラメータであるのではなく、最適であることを示すこと。
• コンパイルの複雑さに対して、きつい上界と下界を確立し、アリティと次数が定数であるという仮定のもとで、幅に指数的依存が避けられないことを示すこと。
• DNNF や nFBDD のような非構造的ターゲットに対しても、これらの結果を拡張し、同様の指数的下界を示すこと。

提案手法

• 12個の知識コンパイルクラスを、論理積の種別（BDD 対 回路）、構造的性質（構造的対 非構造的）、決定性（決定的対 無作為的対 任意の論理和）の3軸に沿って体系的に分類する。
• 有界な木幅を持つ回路を、回路サイズに線形時間でd-SDNNFに変換する構成的コンパイル手法を提案する。
• 同様のコンパイル手法を用いて、有界なパス幅を持つ回路を、同じ複雑さの制約のもとでuOBDDに変換する。
• トレース分解とゲート分割に基づく長方形被覆の議論を用いて、コンパイル表現のサイズに関する下界を導出する。
• 木幅から導出される「ツリースプリット幅」パラメータを用い、DNNFおよびOBDD回路のトレースにおける重要なゲートを特定し、指数的下界を導出可能にする。
• 確率的技法と長方形被覆に関する組合せ的境界を用いて、必要な長方形の数が幅パラメータに指数的に増加することを示し、これにより回路サイズに対する指数的下界が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な木幅を持つ回路は、回路サイズに線形で、木幅に関して単一指数的依存を示すd-SDNNFにコンパイル可能か？
• RQ2 アリティと次数が定数であると仮定したもとで、単調なDNFをd-SDNNFにコンパイルする際、木幅に指数的依存が避けられないか？
• RQ3 パス幅と木幅は、それぞれ単調なDNFおよびCNFに対して、uOBDDおよびd-SDNNFのサイズを正確に特徴づけるか？
• RQ4 同じ下界技術を、DNNF や nFBDD のような非構造的ターゲットに拡張可能か？
• RQ5 DNNF にコンパイルする際の最小複雑さを捉える幅パラメータは、木幅を越えて存在するか、特に非構造的なd-DNNFに対しては？

主な発見

• 有界な木幅を持つ回路は、回路サイズに線形時間でd-SDNNFにコンパイル可能であり、木幅に関して単一指数的依存を示す。これはきつい上界を確立する。
• 有界なパス幅を持つ回路は、回路サイズに線形時間でuOBDDにコンパイル可能であり、パス幅に関して単一指数的依存を示す。
• アリティと次数が定数である単調なDNF（それぞれCNF）の任意のd-SDNNF（それぞれSDNNF）は、少なくとも 2^Ω(tw(φ))（それぞれ 2^Ω(pw(φ))）のサイズを持つ必要がある。これは一致する下界を示している。
• アリティと次数が定数である単調なDNF（それぞれCNF）をuOBDD（それぞれn-OBDD）にコンパイルする際も、同様に指数的下界が成立する。
• 非構造的ターゲットであるDNNFおよびnFBDDに対しても、アリティと次数が定数である単調なCNFに対して、それぞれ木幅とパス幅に関して指数的サイズが必要である。
• 下界は、ツリースプリット幅と満たす値に関する確率的境界を用いた長方形被覆の議論により確立され、このような表現は指数的に巨大でなければならないことが示された。