[論文レビュー] Connection with torsion, parallel spinors and geometry of Spin(7) manifolds

Stefan Ivanov|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の8次元のSpin(7)多様体上に、非自明なスピン作用素とSpin(7)構造を保存する、完全に歪対称なねじれをもつ一意的な線形接続の存在を確立する。ねじれ3形式およびスカラー曲率の明示的表現を基本4形式を用いて導出し、コンpactで局所的だが大域的には共形平行でないSpin(7)多様体に対してÂ類が消えることを証明し、次元8におけるキリングスピン作用素方程式の完全な解を提示する。

ABSTRACT

We show that on every Spin(7) manifold there always exists a unique linear connection with totally skew-symmetric torsion preserving a nontrivial spinor and the Spin(7) structure. We express its torsion and the Riemannian scalar curvature in terms of the fundamental 4-form. We present an explicit formula for the Riemannian covariant derivative of the fundamental 4-form in terms of its exterior differential. We show the vanishing of the (\hat)-A genus and obtain a linear relation between Betti numbers of a compact Spin(7) manifolds which are locally but not globally conformally equivalent to a space with closed fundamental 4-form. A general solution to the Killing spinor equations is presented

研究の動機と目的

• 任意の8次元のSpin(7)多様体上に、完全に歪対称なねじれをもつ計量接続が、非自明なスピン作用素とSpin(7)構造を保存するものとして一意に存在することを確立すること。
• ねじれ3形式とリーマンスカラー曲率を基本4形式を用いて明示的に表現すること。
• リーマン接続∇_gによる基本4形式の共変微分を、その外微分を用いて表現すること。
• 基本4形式が閉じている空間と局所的だが大域的には共形同値でないコンパクトなSpin(7)多様体に対して、Â類が消えることの証明およびベッチ数の線形関係の確立。
• 次元8におけるキリングスピン作用素方程式の一般解を提示し、解の特徴を拡張関数と共形構造を用いて記述すること。

提案手法

• 表現論とホロノミー制約を用いて、Spin(7)構造と非自明なスピン作用素を保存する完全に歪対称なねじれをもつ一意な接続を導出する。
• Bryantの結果を用い、基本4形式のリーマン接続による微分∇_gΦを外微分dΦで表現する。
• ねじれを伴うディラック作用素に対するSchrödinger-Lichnerowicz公式を適用し、スカラー曲率とねじれのノルムおよびリー形式の関係を導出する。
• Atiyah-Singerの指数定理とLichnerowiczの消滅定理を用いて、与えられた共形条件の下でÂ類が消えることを証明する。
• 場強度H=Tを拡張関数Ψと関連づけ、TとScal^gの明示的表現をdΨを用いて導出することでキリングスピン作用素方程式を解く。
• 共形変換を用いて、非定数の拡張関数解が、共形スケーリングによるバランスの取れたSpin(7)構造から生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の8次元のSpin(7)多様体は、非自明なスピン作用素とSpin(7)構造を保存する完全に歪対称なねじれをもつ一意な線形接続をもつか？
• RQ2 ねじれ3形式とリーマンスカラー曲率は、基本4形式Φを用いて明示的に表現可能か？
• RQ3 Φの外微分とリーマン接続によるΦの共変微分の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 基本4形式が閉じている空間と局所的だが大域的には共形同値でないコンパクトなSpin(7)多様体に対して、Â類は消えるか？
• RQ5 次元8におけるキリングスピン作用素方程式の一般解は何か？また、それは計量の共形類と拡張関数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の8次元のSpin(7)多様体上に、非自明なスピン作用素とSpin(7)構造を保存する完全に歪対称なねじれをもつ一意な線形接続が存在する。
• ねじれ3形式は T = -δΦ - (7/6)*(θ ∧ Φ) で与えられ、ここで θ = (1/7)*(*δΦ ∧ Φ) であり、平行スピン作用素φに対するClifford作用は T·φ = -(7/6)θ·φ を満たす。
• リーマンスカラー曲率は Scal^g = (49/18)||θ||² - (1/12)||T||² + (7/2)δθ であり、接続のスカラー曲率は Scal = (49/18)||θ||² - (1/3)||T||² + (7/2)δθ である。
• コンパクトで、局所的だが大域的には共形平行でないSpin(7)多様体に対して、Â類は消え、ベッチ数の線形関係が成り立つ。
• 次元8におけるキリングスピン作用素方程式の解は、リー形式が θ = -12/7 dΨ であるSpin(7)構造の存在と同値であり、3形式の場強度は T = -δΦ + 2*(dΨ ∧ Φ) で与えられる。
• 非定数の大域的定義された拡張関数をもつ任意の解は、共形スケーリング g = e^(6/7 Ψ)g₀ および Φ = e^(12/7 Ψ)Φ₀ を用いたバランスの取れたSpin(7)構造から生じる。