[論文レビュー] Connections in holomorphic Lie algebroids

Alexandru D. Ionescu, Gheorghe Munteanu|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素ラグランジアンを介して標準的スプレーを導出し、$T^{\tiny\bullet}E$ とその延長 $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ を分析することにより、正則な複素ラグランジアン構造から $T^{\tiny\bullet}M$ 上の非線形接続を導出する。主な貢献は、$E$ 上のラグランジアン構造から $T^{\tiny\bullet}M$ 上に誘導される非線形接続の構成であり、接続係数と適合フレームの明示的表現が得られる。

ABSTRACT

The main purpose of this note is the study of the total space of a holomorphic Lie algebroid $E$. The paper is structured in three parts. In the first section we briefly introduce basic notions on holomorphic Lie algebroids. The local expressions are written and the complexified holomorphic bundle is introduced. The second section is a little broader and includes two approaches to study the geometry of complex manifold $E.$ The first part contains the study of the tangent bundle $T_{C}E=T^{\prime }E\oplus T^{\prime \prime }E$ and its link, via tangent anchor map, with the complexified tangent bundle $% T_{C}(T^{\prime }M)=T^{\prime }(T^{\prime }M)\oplus T^{\prime \prime }(T^{\prime }M).$ A holomorphic Lie algebroid structure has been emphasized on $T^{\prime }E.$ A special study is made for integral curves of a spray on $% T^{\prime }E.$ Theorem 2.1 gives the coefficients of a spray, called canonical, according to a complex Lagrangian on $T^{\prime }E.$ In the second part of section two we study the prolongation $\mathcal{T}% ^{\prime }E$ of $E imes T^{\prime }E$ algebroid structure. In the third section we study how a complex Lagrange (Finsler) structure on $T^{\prime }M$ induces a Lagrangian structure on $E.$ Three particular cases are analyzed by the rank of anchor map, the dimensions of manifold $M$ and the fibre dimension. We obtain the correspondent on $E$ of the well-known (\cite{Mu}) Chern-Lagrange nonlinear connection from $T^{\prime }M$.

研究の動機と目的

• 実のリーディアブロイド幾何学を複素設定に一般化し、特に接バンドルおよび延長構造に注目する。
• 複素ラグランジアンを用いて $T^{\tiny\bullet}E$ 上の標準的スプレーを定義し、変分原理を複素リーディアブロイドへ拡張する。
• アングル写像と誘導座標を介して、$E$ 上の非線形接続と $T^{\tiny\bullet}M$ 上の非線形接続との間の対応を確立する。
• $(T^{\tiny\bullet}M$ 上のラグランジアン構造が、延長 $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ 上のラグランジアンおよび非線形接続をどのように誘導するかを調査する。
• 命題3.6により、$T^{\tiny\bullet}M$ 上のチェーン＝ラグランジュ非線形接続が、$E$ 上のラグランジアンからの誘導接続として得られることを証明する。

提案手法

• 正則な複素ラグランジアン $L^\ast$ を用いて、$T^{\tiny\bullet}E$ 上の標準的スプレーの係数を変分原理により導出する。
• 正則な複素ラグランジアン $L^\ast$ を用いて、$T^{\tiny\bullet}E$ 上の標準的スプレーの係数を $N_h^k(z,\eta) = \rho_\alpha^k N_h^\alpha(z,u) - u^\alpha \partial \rho_\alpha^k / \partial z^h$ の式で得る。
• $E$ の延長 $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ を複素リーディアブロイドとして構成し、非線形接続を誘導するためのほぼ接続構造とリウヴィルテンソルを定義する。
• $E$ のアングル写像の完全上への持ち上げを用いて、$E$ と $T^{\tiny\bullet}M$ の幾何学的関係を関係づけ、$\delta^\ast \eta^k = \rho_\alpha^k \delta u^\alpha$ を用いて適合フレームと余基底を定義する。
• 座標変換 $\eta^k = \rho_\alpha^k u^\alpha$ を用いて、$T^{\tiny\bullet}E$ 上の非線形接続と $T^{\tiny\bullet}M$ 上の誘導接続との等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素リーディアブロイド $E$ の幾何学は、非線形接続と複素ラグランジアンを用いてどのように線形化可能か？
• RQ2 正則な複素ラグランジアンから導かれる $T^{\tiny\bullet}E$ 上の標準的スプレーの明示的形は何か？
• RQ3 アングル写像を介して、$E$ 上の非線形接続から $T^{\tiny\bullet}M$ 上の非線形接続はどのように誘導されるか？
• RQ4 $T^{\tiny\bullet}M$ 上のチェーン＝ラグランジュ非線形接続は、$E$ 上のラグランジアンからの誘導接続として得られるか？
• RQ5 $(T^{\tiny\bullet}E$ 上の適合フレームと $T^{\tiny\bullet}M$ 上の誘導フレームとの関係は何か？

主な発見

• 標準的スプレーの係数は、複素ラグランジアン $L^\ast$ によって完全に決定され、$N_h^k(z,\eta) = \rho_\alpha^k N_h^\alpha(z,u) - u^\alpha \partial \rho_\alpha^k / \partial z^h$ で与えられる。
• 誘導非線形接続は $\delta^\ast \eta^k = \rho_\alpha^k \delta u^\alpha$ を満たし、$E$ と $T^{\tiny\bullet}M$ の幾何学的整合性を保証する。
• 適合フレームは $\frac{\delta}{\delta z^k} = \frac{\delta^\ast}{\delta z^k}$ および $\frac{\partial}{\partial \eta^k} = \frac{\partial^\ast}{\partial v^k}$ で与えられ、$v^k = \rho_\alpha^k u^\alpha$ である。
• $T^{\tiny\bullet}M$ 上の計量テンソル $g_{i\bar{j}}(z,\eta)$ は、$E$ 上の計量の引き戻しとして表され、$g_{i\bar{j}}(z,\eta) = \left(g_{i\bar{j}}(z,u)\right)^\ast = \frac{\partial^2 L^\ast}{\partial \eta^i \partial \bar{\eta}^j}$ である。
• 命題3.6により、$T^{\tiny\bullet}M$ 上のチェーン＝ラグランジュ非線形接続は、アングル写像を介して $E$ 上のチェーン＝ラグランジュ接続から誘導される。
• 非線形接続 $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ は、定理2.2を用いて $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ 上のスプレーから導出され、$T^{\tiny\bullet}M$ 上の誘導接続は古典的なチェーン＝ラグランジュ接続と一致する。