[論文レビュー] Connections on non-abelian Gerbes and their Holonomy

Urs Schreiber, Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、滑らかな2関手が厳密なリー2群に値をとる枠組みを用いて、非アーベルゲイブの平行移動および表面ホロノミーの公理的枠組みを導入する。これは、既知のアーベルおよび非アーベル接続の概念を一般化する。主な貢献は、非アーベルゲイブのための体系的な表面ホロノミーの定義であり、ホロノミーへの写像類群の作用といった新たな特徴を明らかにするとともに、バンドルゲイブや2バンドルと接続を統合する。

ABSTRACT

We introduce an axiomatic framework for the parallel transport of connections on gerbes. It incorporates parallel transport along curves and along surfaces, and is formulated in terms of gluing axioms and smoothness conditions. The smoothness conditions are imposed with respect to a strict Lie 2-group, which plays the role of a band, or structure 2-group. Upon choosing certain examples of Lie 2-groups, our axiomatic framework reproduces in a systematical way several known concepts of gerbes with connection: non-abelian differential cocycles, Breen-Messing gerbes, abelian and non-abelian bundle gerbes. These relationships convey a well-defined notion of surface holonomy from our axiomatic framework to each of these concrete models. Till now, holonomy was only known for abelian gerbes; our approach reproduces that known concept and extends it to non-abelian gerbes. Several new features of surface holonomy are exposed under its extension to non-abelian gerbes; for example, it carries an action of the mapping class group of the surface.

研究の動機と目的

• 非アーベルゲイブの平行移動および表面ホロノミーの体系的かつ公理的な定式化を提供すること。これは、これまで一貫性のない定義が存在していたためである。
• ホロノミーの概念をアーベルゲイブにとどまらず、幾何学的かつ圏論的基盤を備えた非アーベル構造へと一般化すること。
• Breen-Messingゲイブ、アーベルおよび非アーベルバンドルゲイブ、2バンドルといった既存の接続付きゲイブのモデルを、滑らかな2関手に基づく単一の形式的枠組みに統合すること。
• 表面ホロノミーと微分的非アーベルコhomologyの間の明確な関係を確立し、それが幾何学的および物理的理論において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 多様体の経路2群作用素 P₂(X) から標的2カテゴリへ値をとる滑らかな2関手を用いて平行移動を形式化し、その値は厳密なリー2群にとる。
• 滑らかさおよび貼り合わせの公理を課して、輸送2関手を定義し、局所的自明化および降下データと整合することを保証する。
• 経路2群作用素 P₂(X) を用いて、曲線および表面に沿った高次平行移動をモデル化し、バンドル理論で用いられる経路群作用素を一般化する。
• 基本的なビゴンと還元されたホロノミーを用いて表面ホロノミーを定義し、表面写像 φ: S → M のホロノミーは標準的輸送2関手の引き戻しにより計算される。
• ホロノミーと曲率2関手の同値性を確立し、曲率が2関手の2鎖への値に符号化されていることを示す。
• 還元された表面ホロノミーがマークイングのホモトピーに対して不変であり、表面の写像類群による変換を受けることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルゲイブの表面ホロノミーは、これまでアーベルの場合にのみ知られていたが、どのように一貫的に定義できるか？
• RQ2 バンドルゲイブ、2バンドル、微分的コサイクルといったさまざまな接続付きゲイブのモデルを、単一の形式的枠組みに統合するための公理的枠組みは何か？
• RQ3 非アーベルゲイブの表面ホロノミーは、恒等写像にホモトープでない微分同相写像の下でどのように変化するか？
• RQ4 写像類群は、非アーベルゲイブの表面ホロノミーの構造において果たす役割は何か？
• RQ5 非アーベル2関手および滑らかな降下データの文脈において、曲率とホロノミーはどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、厳密なリー2群に値をとる滑らかな2関手を用いて、非アーベルゲイブの表面ホロノミーの明確な定義を確立し、アーベルの場合を一般化する。
• この枠組みは、既知のモデルを特別な場合として再現する：アーベルおよび非アーベルバンドルゲイブ、Breen-Messingゲイブ、2バンドルと接続。
• 還元された表面ホロノミーがマークイングのホモトピーに対して不変であり、表面の写像類群の作用を受けることが示された。
• 表面写像 φ: S → M のホロノミーは、輸送2関手が基本的ビゴン上でとる値として計算され、曲率2形式の積分と関連づけられる。
• 曲率2関手は、各2セルにその境界のホロノミーを割り当てる滑らかな2関手として特徴づけられ、バンドル理論における曲率を一般化する。
• 構成により、非アーベルゲイブの表面ホロノミーが写像類群の非自明な作用を持つことが明らかになった。これはアーベルの場合には存在しない特徴である。