[論文レビュー] Conserved energies for the cubic NLS in 1-d

Herbert Koch, Daniel Tataru|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、1次元の立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）および修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程式に対して、すべてのソボレフ正則性 $ s > -\frac{1}{2} $ に対して有効な連続的な保存エネルギーの族を構築する。逆散乱変換とスペクトル理論を用いて、これらのエネルギーが $ H^s $ ノルムと同値であり、古典的な偶数次ハミルトニアン $ H_{2j} $ の間を補間し、離散的ハミルトニアンの階層を超えて保存則を拡張することを証明する。

ABSTRACT

We consider the cubic Nonlinear Schrödinger Equation (NLS) as well as the modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation in one space dimension. We prove that for each $s>-\frac12$ there exists a conserved energy which is equivalent to the $H^s$ norm of the solution. For the Korteweg-de Vries (KdV) equation there is a similar conserved energy for every $s\ge -1$.

研究の動機と目的

• 立方非線形シュレーディンガー方程式およびmKdV方程式の離散的保存エネルギー階層 $ H_{2j} $ を、すべての $ s > -\frac{1}{2} $ に対して連続的エネルギー族 $ E_s $ に拡張すること。
• これらの新しいエネルギー $ E_s $ が解の $ H^s $ ノルムと同値であることを確立し、$ H^s $ 初期データに対してグローバルな $ H^s $ 界を保証すること。
• NLSおよびmKdVの局所的well-posednessの閾値未満の正則性スケールにおいても、エネルギー保存の均一な解析的枠組みを提供すること。
• 半整数 $ s $ の一般化運動量 $ P_s $ を含めるように構成を一般化し、奇数次ハミルトニアンと関連付けること。

提案手法

• ザハロフ＝シャバット系の逆散乱変換とスペクトル理論を用いて、上半平面における散乱データおよび透過係数を定義する。
• ポアソン積分表現を用いて、上半平面における正の調和関数を構成し、エネルギー関数の定義に不可欠な役割を果たす。
• 反復的積分構成 $ T_{2j} $ および $ \tilde{T}_{2j} $ を用いて、エネルギー展開における非線形項を制御し、収束性と正則性を保証する。
• スケーリング臨界 $ H^{-1/2} $ 空間の代わりに $ DU^2 $ および $ l^2DU^2 $ 関数空間を用い、小データに対して一様な推定を得る。
• $ U^p $ および $ V^p $ 空間（調和解析から得られるもの）を用いて、非線形フローの文脈における解の時間発展および正則性を扱う。
• 行列値接続 $ B_k(z,u) $ を用いたゼロ曲率方程式によりNLS階層を導出し、$ Q_j(u) $ を再帰的に解くことでハミルトニアン $ H_{2j} $ を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方非線形シュレーディンガー方程式およびmKdV方程式に対して、すべての $ s > -\frac{1}{2} $ に対して、$ H^s $ ノルムと同値である連続的エネルギー族 $ E_s $ を構築できるか？
• RQ2 古典的な離散的保存エネルギー $ H_{2j} $ が連続的関数 $ E_s $ によってどのように補間されるか。また、$ E_n $ と和 $ \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} H_{2j} $ の正確な関係は何か？
• RQ3 $ l^2DU^2 $ 空間が、エネルギー構成におけるスケーリング臨界 $ H^{-1/2} $ 空間の置き換えとして果たす役割は何か？
• RQ4 半整数 $ s $ の一般化運動量 $ P_s $ は、奇数次ハミルトニアン $ H_{1}, H_{3}, \dots, H_{2k+1} $ とどのように関連しているか？

主な発見

• 各 $ s > -\frac{1}{2} $ に対して、$ l^2DU^2 $ 内の小さな球上で定義される保存エネルギー関数 $ E_s $ が存在し、四次項までを除いて $ H^s $ ノルムと同値である。
• $ u \in H^\sigma $ に対して $ E_s $ は解析的であり、$ s = \sigma $ で連続であり、$ E_n(u) = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} H_{2j}(u) $ を満たす。これは離散的階層の補間を示している。
• 解のグローバルな $ H^s $ 界が確立された：$ \|u(t)\|_{H^s} \lesssim F(R,s) $ であり、$ s \geq 0 $ の場合 $ F(R,s) = R + R^{1+2s} $、$ s < 0 $ の場合 $ R + R^{\frac{1+4s}{1+2s}} $ である。
• 構成は散乱変換とスペクトル理論に依存しており、$ l^2DU^2 $ 空間は $ s > -\frac{1}{2} $ に対して $ \|u\|_{l^2DU^2} \lesssim \|u\|_{B^{-1/2}_{2,1}} \lesssim \|u\|_{H^s} $ を満たす。
• 半整数 $ s = k + \frac{1}{2} $ の一般化運動量 $ P_s $ は、奇数次ハミルトニアン $ H_1, H_3, \dots, H_{2k+1} $ の線形結合として示された。