[論文レビュー] Consistent mass matrix of ten nodes tetrahedral element based on analytical integration

Eli Hanukah|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、直線を含む10節点四面体有限要素の整合質量行列の閉形式解析的式を提示している。直線を含む要素では正確な積分を、曲線を含む要素では半解析的近似を用いる。提案された定数（CM）、線形（LM）、二次（QM）メトリック近似は、精度が高く、計算効率に優れた質量行列をもたらし、標準的なガウス求積法と比較して精度および効率の両面で優れている。

ABSTRACT

Currently, components of consistent mass matrix are computed using various numerical integration schemes, each one alters in number of integration (Gauss) points, requires different amount of computations and possess different level of accuracy. We discuss the closed-form mass matrix based on analytical integration. Curved-sided and straight-sided elements are considered. For a straight-sided element we derive an exact analytical easy to implement consistent mass matrix. For a curved-sided element an exact analytical mass matrix is derived, however it is rather lengthy, hence approximations are proposed. Three systematic approximations to the metric (jacobian determinant) are suggested; constant metric (CM), linearly varying metric (LM) and quadratic metric (QM). CM requires evaluation of the metric at the centroid, LM requires metric evaluations at the four corner nodes and QM uses metric values at all the ten nodes. Analytical integration together with approximated metric models yields closed-form semi-analytical mass matrices. The accuracy of the schemes is studied numerically using randomly generated coarse mesh. Our findings reveal significant superiority in accuracy and computations over equivalent schemes. An important implication of this study is that based on the results, it is superior to use our CM, LM and QM semi-analytical mass matrices over mass matrices based on numerical integration schemes which involve four, five and fifteen point Gauss quadrature. For a straight-sided element, CM, LM and QM admit an exact consistent mass matrix.

研究の動機と目的

• 有限要素解析に用いられる10節点四面体要素の正確かつ効率的な整合質量行列の開発を目的とする。
• ガウス求積法のような従来の数値積分法の計算コストと精度の限界を克服することを目的とする。
• 直線を含む要素に対しては閉形式の解を提供し、曲線を含む要素に対しては実用的な半解析的近似を提供することを目的とする。
• 標準的な数値積分法と比較して、異なるメトリック近似モデル（CM、LM、QM）の精度および計算効率を評価・比較することを目的とする。

提案手法

• 要素領域における解析的積分を用いて、直線を含む10節点四面体要素の正確な解析的整合質量行列を導出する。
• ヤコビ行列式（メトリック）の3つの近似を提案する：重心における定数近似（CM）、角節点からの線形変化（LM）、すべての10個の節点からの二次変化（QM）。
• 解析的積分と近似されたメトリックモデルを組み合わせることで、閉形式の半解析的質量行列を生成する。
• ランダムに生成された粗いメッシュを用いた数値実験により、精度および計算性能を検証する。
• 比較のベンチマークとして、4点、5点、15点のガウス求積法を用いる。
• 曲線を含む要素および直線を含む要素の両方に対して適用するが、正確な結果は直線を含む要素に限る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的積分を用いて、直線を含む10節点四面体要素の正確な解析的整合質量行列を導出できるか？
• RQ2 正確な積分が現実的でない曲線を含む10節点四面体要素に対して、正確でかつ効率的な質量行列をどのように構築できるか？
• RQ3 CM、LM、QMメトリック近似は、標準的なガウス求積法と比較して精度および計算コストの面でどのように異なるか？
• RQ4 提案された半解析的アプローチは、4点、5点、15点のガウス求積法と比較して、より優れた精度と効率を達成できるか？

主な発見

• 直線を含む10節点四面体要素では、形状関数および幾何の多項式的性質のおかげで、CM、LM、QM近似が正確な整合質量行列をもたらす。
• CM、LM、QMの半解析的質量行列は、4点、5点、15点のガウス求積法と同等の数値積分法と比較して、顕著に高い精度を達成する。
• 提案手法は計算コストを低減しつつ、特に粗いメッシュ構成において精度を維持または向上させる。
• CM近似は重心での1回のメトリック評価で十分であり、LMは角節点での4回の評価を必要とし、QMはすべての10個の節点値を用いる。精度と複雑さは順次増加する。
• 数値結果は、半解析的アプローチが、テストされたメッシュ構成において、標準的なガウス求積法よりも精度および効率の両面で優れていることを示している。
• 本研究は、10節点四面体要素において、CM、LM、QMの半解析的質量行列を使用することが、数値積分法を使用するよりも優れていると結論づけている。