[論文レビュー] Constant Factor Approximation for Capacitated k-Center with Outliers

Tomasz Kociumaka, Marek Cygan|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Facility Location and Emergency Management参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般のハード容量に対して25-近似、均一容量に対して23-近似を達成する、容量制約付き $k$-center問題における最初の定数倍近似アルゴリズムを提示する。この手法は、線形計画法（LP）の丸めと、新たな木ベースの分解および距離転送技術を組み合わせ、施設の容量制約と外れ値の選択の両方を処理し、非均一な制約下でも近似比が有界に保たれることを保証する。

ABSTRACT

The $k$-center problem is a classic facility location problem, where given an edge-weighted graph $G = (V,E)$ one is to find a subset of $k$ vertices $S$, such that each vertex in $V$ is "close" to some vertex in $S$. The approximation status of this basic problem is well understood, as a simple 2-approximation algorithm is known to be tight. Consequently different extensions were studied. In the capacitated version of the problem each vertex is assigned a capacity, which is a strict upper bound on the number of clients a facility can serve, when located at this vertex. A constant factor approximation for the capacitated $k$-center was obtained last year by Cygan, Hajiaghayi and Khuller [FOCS'12], which was recently improved to a 9-approximation by An, Bhaskara and Svensson [arXiv'13]. In a different generalization of the problem some clients (denoted as outliers) may be disregarded. Here we are additionally given an integer $p$ and the goal is to serve exactly $p$ clients, which the algorithm is free to choose. In 2001 Charikar et al. [SODA'01] presented a 3-approximation for the $k$-center problem with outliers. In this paper we consider a common generalization of the two extensions previously studied separately, i.e. we work with the capacitated $k$-center with outliers. We present the first constant factor approximation algorithm with approximation ratio of 25 even for the case of non-uniform hard capacities.

研究の動機と目的

• 容量制約と外れ値選択を同時に組み合わせた自然な一般化である、容量制約付き $k$-center問題における定数倍近似の開発という未解決問題に取り組む。
• 従来、別々に適用されてきた容量制約付き $k$-centerおよび $k$-centerと外れ値のための近似技法を、統合された枠組みに拡張する。
• 先行手法が限界または存在しなかった非均一ハード容量の下でも、有界な近似比を達成することを目的とする。
• 正確に $p$ 個のクライアントをサービス対象とし、$k$ 個の施設を開設し、容量制限を守り、最大クライアント-施設距離を最小化する多項式時間アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 施設の開設とクライアントの割り当てのための変数を用いて、容量制約付き $k$-supplier と外れ値を含む問題を線形計画法（LP）として定式化する。
• 頂点がクライアントまたは施設であるグラフ的インスタンスへの変換を導入し、構造を単純化するための木ベースの分解を適用する。
• LP値の距離制限付き転送を可能にするように、変更された施設頂点上で木 $T'$ を構築し、丸めの過程で容量制約が保たれることを保証する。
• 距離24転送手順を用いる：まず代理ノード $s'$ に質量を集約し、その後木上で動的計画法を適用して整数解を取得する。
• 整数距離 $r$ での転送が距離 $(r+1)$ 解をもたらすことを示す補題を活用し、最終的な近似比を25に低減する。
• スケルトンに基づく動的計画法を用いて問題を部分問題に分割し、各部分問題はLPの妥当性と局所的丸めにより解けるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 容量制限と外れ値選択を同時に考慮する容量制約付き $k$-center問題に対して、定数倍近似が達成可能か？
• RQ2 容量制限付き $k$-centerと $k$-centerと外れ値のための従来のLP丸め技法を、近似比が有界となる共通の一般化に拡張することは可能か？
• RQ3 非均一ハード容量を想定した外れ値付き問題の最良達成可能近似比は何か？
• RQ4 下位のグラフ構造をどのように活用すれば、容量制約と有界なクライアント-施設距離の両方を満たす解を得られるか？

主な発見

• 本稿は、非均一容量が存在する場合でも、一般の容量制限付き $k$-supplier と外れ値付き問題に対して25-近似アルゴリズムを提示する。
• 均一容量の場合、23-近似が達成され、一般の境界を改善する。
• 均一容量のソフト容量設定では、近似比は13に改善される。
• 本アルゴリズムは、容量制限付き $k$-centerと外れ値の両方を同時に考慮する問題に対して、初めて定数倍近似を達成する。
• 本手法は、新たな木ベースの分解と一連の距離転送操作に依存し、24-転送が25-近似解を生み出す。
• 本手法は強固で汎用的であり、問題をグラフ的インスタンスに還元し、スケルトン上の動的計画法を用いて部分問題の妥当性を保証する。