[論文レビュー] Constant Factor Lasserre Integrality Gaps for Graph Partitioning Problems

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バランスド・セパレータ問題およびユニフォーム・スパーステスト・カット問題の文脈において、Lasserre階層の定数倍の整数性ギャップを確立している。これは、Ω(n)レベルの階層ですら定数倍近似を達成できないことを示している。著者らは、拡張グラフと構造的制約を用いて明示的な整数性ギャップ例を構築し、この階層がこれらの基本的なグラフ分割問題に対して定数倍近似解を証明できないことを示している。

ABSTRACT

Partitioning the vertices of a graph into two roughly equal parts while minimizing the number of edges crossing the cut is a fundamental problem (called Balanced Separator) that arises in many settings. For this problem, and variants such as the Uniform Sparsest Cut problem where the goal is to minimize the fraction of pairs on opposite sides of the cut that are connected by an edge, there are large gaps between the known approximation algorithms and non-approximability results. While no constant factor approximation algorithms are known, even APX-hardness is not known either. In this work we prove that for balanced separator and uniform sparsest cut, semidefinite programs from the Lasserre hierarchy (which are the most powerful relaxations studied in the literature) have an integrality gap bounded away from $1$, even for $Ω(n)$ levels of the hierarchy. This complements recent algorithmic results in Guruswami and Sinop (2011) which used the Lasserre hierarchy to give an approximation scheme for these problems (with runtime depending on the spectrum of the graph). Along the way, we make an observation that simplifies the task of lifting "polynomial constraints" (such as the global balance constraint in balanced separator) to higher levels of the Lasserre hierarchy.

研究の動機と目的

• バランスド・セパレータおよびユニフォーム・スパーステスト・カット問題における既知の近似アルゴリズムと不近似可能性結果の間のギャップを埋める。
• Lasserre階層—最も強力なSDP階層の一つ—が、これらの問題に対して定数倍近似を達成できるかどうかを調査すること。
• Ω(n)レベルのLasserre階層ですら困難であることを示す明示的な整数性ギャップ例を構築すること。
• 多項式制約（例えば、グローバルバランス）をLasserre階層の高レベルに効率的に持ち上げる方法を簡素化すること。
• 最近のアルゴリズム的進展にもかかわらず、Lasserre階層がこれらの問題に対してPTASを提供できない可能性への証拠を提供すること。

提案手法

• 拡張グラフと構造的コンポーネント（LΦ, RΦ, Zr, Dl, Dr）を用いて、分割の困難なケースを模倣するグラフインスタンスの族を構築する。
• 部分グラフの拡張性を用いて、カットをまたぐ辺の数を制限し、バランス制約に違反しない限りスパarsityが閾値を下回らないように保証する。
• 確率的議論を用いて、スパarsityが閾値γ未満の任意のカットはほぼバランスが取れており、Dl′とDr′が反対側に分離されている必要があることを示す。
• Lasserre階層の構造を活用して、グローバルバランスおよびカット制約を高レベルの緩和に持ち上げ、多項式制約の解析を簡素化する。
• 不等式の鎖を用いて、任意の候補カットのスパarsityをバインドし、カットがバランスが取れておりかつ重要なコンポーネントを分離しない限り、γを超えることを示す。
• スペクトル的性質と固有値の境界（λr）を用いて、整数性ギャップをグラフの正規化ラプラシアンに関連付け、先行するアルゴリズム的結果と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lasserre階層はバランスド・セパレータおよびユニフォーム・スパーステスト・カット問題に対して定数倍近似を達成できるか？
• RQ2 Ω(n)レベルですら、Lasserre階層の整数性ギャップが1から離れているか？
• RQ3 グローバルバランスのような多項式制約を、Lasserre階層の高レベルに効率的に持ち上げられるか？
• RQ4 強力なアルゴリズム的結果が低レベルで得られているにもかかわらず、これらの問題におけるLasserre階層に非定数の整数性ギャップがあるか？
• RQ5 Sherali-Adamsのような弱い階層が失敗する場合でさえ、Lasserre階層がこれらの問題に対してPTASを提供できないか？

主な発見

• バランスド・セパレータおよびユニフォーム・スパーステスト・カット問題において、Lasserre階層はΩ(n)レベルであっても定数倍の整数性ギャップを有する。
• 整数性ギャップは1から離れているため、階層は定数倍近似解を証明できない。
• ギャップインスタンスは拡張グラフと構造的コンポーネントを用いて、カットがバランスが取れておりかつ重要な部分を分離しない限り、高いスパarsityを強制する。
• 解析により、スパarsityが閾値γ未満の任意のカットはほぼバランスが取れており、Dl′とDr′が反対側に分離されている必要があることが示された。
• O(n)レベルであっても、Lasserre階層はこれらの問題に対して(1+ε)-近似を達成できないことが示された。
• グローバルバランス制約をLasserre階層の高レベルに持ち上げるための簡素化された手法が提供され、整数性ギャップの解析が明確になった。