[論文レビュー] Exponential-Time Approximation of Hard Problems

Marek Cygan, Łukasz Kowalik+2 more|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、最大独立集合、頂点彩色、集合被覆、帯域幅といったNP困難問題における近似比と指数時間計算量のトレードオフを提示する。2つのアプローチを採用する：(1) 検索木の縮小により、帯域幅問題に対して$(4r-1)$-近似を$O^*(2^{n/r})$時間で達成するバックトラッキングアルゴリズムの設計、(2) 精度と実行時間の実用的トレードオフを可能にする、正確な指数時間アルゴリズムを高速近似スキームに変換する手法。特に、集合被覆問題に対しては、$O^*(c^{n/r})$時間で$(1+\ln r)$-近似を達成する。

ABSTRACT

We study optimization problems that are neither approximable in polynomial time (at least with a constant factor) nor fixed parameter tractable, under widely believed complexity assumptions. Specifically, we focus on Maximum Independent Set, Vertex Coloring, Set Cover, and Bandwidth. In recent years, many researchers design exact exponential-time algorithms for these and other hard problems. The goal is getting the time complexity still of order $O(c^n)$, but with the constant $c$ as small as possible. In this work we extend this line of research and we investigate whether the constant $c$ can be made even smaller when one allows constant factor approximation. In fact, we describe a kind of approximation schemes -- trade-offs between approximation factor and the time complexity. We study two natural approaches. The first approach consists of designing a backtracking algorithm with a small search tree. We present one result of that kind: a $(4r-1)$-approximation of Bandwidth in time $O^*(2^{n/r})$, for any positive integer $r$. The second approach uses general transformations from exponential-time exact algorithms to approximations that are faster but still exponential-time. For example, we show that for any reduction rate $r$, one can transform any $O^*(c^n)$-time algorithm for Set Cover into a $(1+\ln r)$-approximation algorithm running in time $O^*(c^{n/r})$. We believe that results of that kind extend the applicability of exact algorithms for NP-hard problems.

研究の動機と目的

• 標準の複雑性仮定のもとで多項式時間近似可能でも、固定パrameter可 tractableでもないNP困難問題に対処すること。
• 正確なアルゴリズムの指数時間計算量を、定数因子の近似を許容することで軽減できるか、その程度を明らかにすること。
• 帯域幅、集合被覆、独立集合といった困難な問題において、近似品質と実行時間の実用的トレードオフを設計すること。
• 多項式時間近似可能性との関連を分析することで、このような軽減の理論的限界を確立すること。

提案手法

• 任意の整数$r \geq 1$に対して、$(4r-1)$-近似を$O^*(2^{n/r})$時間で達成する、検索木を刈り減らしたバックトラッキングアルゴリズムの設計。
• 入力を$r$個のセットをブロックにまとめる reducer を用いて$m$個の部分インスタンスに分割し、重み付きマージにより近似を実現。
• $m$個の部分インスタンスから最も軽い被覆を選択するマージャーを適用し、最終的な解が最適解の$\alpha r$倍以内であることを保証（$\alpha$は部分インスタンスソルバーの近似比）。
• 集合被覆問題の任意の$O^*(c^n)$-時間正確アルゴリズムを、ブロックベースのインスタンス還元により、$O^*(c^{n/r})$時間で$(1+\ln r)$-近似アルゴリズムに変換。
• 頂点の同定を考慮したマージメカニズムに適応することで、最小支配集合問題へのフレームワークの拡張。
• 還元合成補題を用いて、このような還元の意味を分析し、多項式時間近似可能性の上限を特定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数因子の近似を許容することで、指数時間正確アルゴリズムの実行時間を短縮できるか？ もしそうなら、どの程度短縮できるか？
• RQ2 帯域幅や集合被覆といった困難な問題において、近似比と実行時間のトレードオフはどのようなものか？
• RQ3 インスタンスの分割とマージを用いて、正確な指数時間アルゴリズムを体系的に高速近似スキームに変換することは可能か？
• RQ4 このような還元が実行時間の向上にどの程度まで効果を持つか、理論的限界は何か？
• RQ5 このような還元がより良い多項式時間近似を示唆するか？ これは、独立集合や頂点彩色といった問題の本質的困難性について何を示唆するか？

主な発見

• 任意の正の整数$r$に対して、$(4r-1)$-近似アルゴリズムは、$O^*(2^{n/r})$時間で帯域幅問題を解くことができ、正確なアルゴリズムよりも指数ベースを低減している。
• 集合被覆問題において、任意の$O^*(c^n)$-時間正確アルゴリズムを、$O^*(c^{n/r})$時間で$(1+\ln r)$-近似アルゴリズムに変換可能であり、著しい実行時間の短縮が達成される。
• 還元フレームワークにより、$O(2^{0.598n/r})$時間で最小支配集合問題に対して$r$-近似が達成可能であり、$O(2^{0.598n})$の複雑さを持つ最近の正確アルゴリズムを活用している。
• このフレームワークは、最大独立集合問題に対して多項式時間で$(r, \alpha r)$-還元が可能であれば、多項式時間内に$O(n / \log n)^{\log_r c}$-近似が得られることを示唆しており、このような還元の理論的限界を示している。
• 分析により、$\alpha r$近似を上回る改善が、還元の上限を越えて達成できる場合、標準仮定のもとで多項式時間近似可能性の分野に画期的な進展（例：${\rm NP} = {\rm ZPP}$）を意味することが示された。