[論文レビュー] Constant Mean Curvature Slices of the Reissner-Nordström Spacetime

Patrick Tuite, Niall Ó Murchadha|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝ノールストローム時空における一定平均曲率（CMC）スライスを、高さ関数アプローチを用いて lapse 関数と外的曲率を導出することによって調査する。本稿では、リーマン＝ノールストローム時空における CMC スライスがシュバルツシルト時空におけるものに非常に類似しており、大半の半径において電荷依存項 $ Q^2/r^4 $ が無視可能になること、したがって電荷を有するブラックホールの数値シミュレーションにシュバルツシルトに基づく数値的手法を適用することが妥当であることを示している。

ABSTRACT

In order to specify a foliation of spacetime by spacelike hypersurfaces we need to place some restriction on the initial data and from this derive a way to calculate the lapse function $α$ which measures the proper time and interval between neighbouring hypersurfaces along the normal direction. Here we study a prescribed slicing known as the Constant Mean Curvature (CMC) slicing. This slicing will be applied to the Reissner-Nordström metric and the resultant slices will be investigated and then compared to those of the extended Schwarzschild solution.

研究の動機と目的

• アインシュタイン＝マクスウェル方程式の球対称解であるリーマン＝ノールストローム時空における一定平均曲率（CMC）スライスの構造と挙動を調査すること。
• シュバルツシルト時空に対して開発された CMC スライシング技法が、電荷を有するリーマン＝ノールストロームの場合に拡張可能かどうかを特定すること。
• 特に電荷 $ Q $ の影響に注目して、CMC 条件下での lapse 関数と外的曲率の進化を分析すること。
• 得られた CMC スライスを拡張されたシュバルツシルト解のものと比較し、類似点と相違点を評価すること。

提案手法

• リーマン＝ノールストローム計量に座標変換 $ t' = t + h(r) $ を適用し、CMC スライシング条件を定義するための高さ関数 $ h(r) $ を導入する。
• CMC 条件は、各空間的スライス上で外的曲率のトレース $ K $ が一定であるように要求し、$ h(r) $ に関する2階微分方程式を導出する。
• 変換された計量から内在計量および外的曲率を計算し、lapse 関数 $ ilde{eta} $ を計量の $ t' $ 成分から導出する。
• 得られた方程式を摂動的アプローチで解き、シュバルツシルトの場合に対する小さな補正項として $ Q^2/r^4 $ 項を扱う。
• K の進化方程式を導出し、$ rac{Q^2}{r^4} $ 項が半径とともに急速に減少し、リーマン＝ノールストローム時空が空間無限遠でシュバルツシルトに漸近的に似るようになることを示す。
• $ Q = 0 $ のときシュバルツシルトの場合に一致することから、既知の結果と整合性が確認され、解の妥当性が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝ノールストローム時空における CMC スライスは、シュバルツシルト時空におけるものとどのように比較されるか？
• RQ2 特にホライズン付近において、リーマン＝ノールストローム時空における外的曲率 $ K $ の挙動はいかなるものか？
• RQ3 リーマン＝ノールストローム時空における一般化された lapse 関数は、シュバルツシルトの場合と同一の進化方程式を満たすか？
• RQ4 電荷 $ Q $ の存在が、CMC スライスの幾何学的および力学的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 シュバルツシルト時空に対して開発された数値相対性理論的手法を、リーマン＝ノールストローム時空に信頼性を持って適用できるか？

主な発見

• リーマン＝ノールストローム時空における CMC スライスは、大半の半径において、シュバルツシルト時空におけるものと顕著な定性的および定量的類似性を示す。
• 内側ホライズン $ r_- $ と外側ホライズン $ r_+ $ の間で、外的曲率 $ K $ は単調に増加し続け、シュバルツシルト時空と同様の挙動を維持する。
• lapse 関数の進化方程式における $ Q^2/r^4 $ 項は、$ O(r^{-4}) $ のオーダーで急速に減少し、ブラックホールから遠く離れるにつれて無視可能になる。
• $ Q = 0 $ のとき、K の進化方程式はシュバルツシルト形式に簡略化され、既知の結果と整合することが確認される。
• シュバルツシルトとの乖離はホライズン付近に限定され、空間無限遠では時空は漸近的にシュバルツシルトに類似するようになる。
• 本分析により、電荷を有するブラックホールの数値相対性理論的シミュレーションにおいて、シュバルツシルトに基づく CMC スライシング手法を信頼して適用できること、特に弱い場の領域において有効であることが裏付けられる。