[論文レビュー] On the foliation of space-time by constant mean curvature hypersurfaces

Claus Gerhardt|ArXiv.org|Apr 27, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンpactなカウチー面を備えたグローバルにハイペルボリックなローレンツ多様体における定常平均曲率（CMC）超曲面の平均曲率 $\tau$ が、時間的収束条件が成り立ち、完全に測地的でない最大スライスが存在するか、または条件に厳密な不等号が成り立つ場合、非自明な勾配を持つ滑らかな時間関数であることを証明する。結果として、自然な幾何的制約のもとで $\tau$ はグローバルに有効な時間関数であることが確立される。

ABSTRACT

We prove that the mean curvature $τ$ of the slices given by a constant mean curvature foliation can be used as a time function, i.e. $τ$ is smooth with non-vanishing gradient.

研究の動機と目的

• 時空における定常平均曲率（CMC）超曲面の平均曲率 $\tau$ が、グローバルに滑らかな時間関数として機能する条件を確立すること。
• 最大スライスが存在する状況において $\tau$ が滑らかで勾配が非ゼロであるかどうかの問題を解決すること。
• 完全に測地的でない最大スライスの下で、仮定の鋭さを明確にし、完全に測地的でない最大スライス上での勾配の消失により $\tau$ が時間関数として失敗する反例を構成すること。
• ガウス＝コダージェ=ヴァインガルテン方程式とガウス座標を用いた、グローバルにハイペルボリックな時空におけるCMCファイブレーションの厳密な幾何的解析を提供すること。
• 時間的収束条件が $\tau$ が時間関数であるために十分であることを検証し、構成された反例によりその鋭さを示すこと。

提案手法

• ローレンツ多様体内の空間的超曲面の内接的および外接的幾何を関連付けるために、ガウス＝コダージェ=ヴァインガルテン方程式を用いる。
• 時空計量が $d\bar{s}^2 = e^{2\psi}(-dx^0{}^2 + \sigma_{ij}dx^i dx^j)$ の形をとるガウス座標系を採用し、CMCスライスを $x^0 = u(x)$ のグラフとして表現する。
• CMC方程式の解 $u - \bar{u}$ の差に最大原理を適用し、推定 $\tau - \bar{\tau} \leq c[u(x_0) - \bar{u}(x_0)]$ を導出することで、$\tau$ が厳密に増加することを証明する。
• CMC方程式のグラフ的表現を用いて第二基本形式および平均曲率の進化を導出し、$\tau$ が $\{\tau \neq 0\}$ で滑らかであることを示す。
• 計量 $d\bar{s}^2 = -dt^2 + e^{2f}\sigma_{ij}dx^i dx^j$ の $I \times S^n$ 上に反例を構成し、$f(t) = -\int_0^t \frac{s^3}{\epsilon^2 - s^2}ds$ とすることで、完全に測地的でない最大スライス上での $D\tau = 0$ を示す。
• 共形変換およびリッチテンソルの恒等式を用いて、$\bar{R}_{\alpha\beta}\eta^\alpha\eta^\beta \geq 0$ を計算し、時間的収束条件が与えられた構成のもとで成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CMCファイブレーションにおける平均曲率 $\tau$ が、非自明な勾配を持つ滑らかな時間関数であるための条件は何か？
• RQ2 時間的収束条件および完全に測地的でない最大スライスの存在が、$\tau$ がグローバルに時間関数であることを保証できるか？
• RQ3 $D\tau \neq 0$ という条件は鋭いか、自然な幾何的仮定のもとで失敗する可能性はあるか？
• RQ4 1つの完全に測地的でない最大スライスが存在すると、$\tau$ が時間関数として失敗するか？
• RQ5 $\tau$ が滑らかだが最大スライス上での $D\tau = 0$ となるような時空を構成できるか？その場合、時間関数の性質が破綻する。

主な発見

• 平均曲率 $\tau$ は $\{\tau \neq 0\}$ の領域で滑らかで勾配が非ゼロであり、その領域では有効な時間関数であることが保証される。
• 時間的収束条件が成り立ち、かつ厳密な不等号が成り立つ、または完全に測地的でない最大スライスが存在する場合、$\tau$ はグローバルに滑らかな時間関数である。
• 計量 $d\bar{s}^2 = -dt^2 + e^{2f}\sigma_{ij}dx^i dx^j$ の $I \times S^n$ 上に反例を構成し、$\tau = -n \dot{f} = n \frac{t^3}{\epsilon^2 - t^2}$ であり、$t = 0$ で $D\tau = 0$ となる。これは、一意の完全に測地的でない最大スライス上での勾配の消失を示している。
• 反例においてリッチテンソルの計算により時間的収束条件が確認され、すべての時間的ベクトルに対して $\bar{R}_{\alpha\beta}\eta^\alpha\eta^\beta \geq 0$ が成り立つ。
• 推定 $\tau - \bar{\tau} \leq c[u(x_0) - \bar{u}(x_0)]$ は、$\tau$ がファイブレーションに沿って厳密に増加することを示し、その単調性および滑らかさを確認する。
• 結果として、$\tau$ が時間関数であるための仮定が鋭いことが示された：$\tau$ が最大スライス上で $D\tau = 0$ ならば、$\tau$ はグローバルに時間関数として失敗する。