[論文レビュー] Constrained Non-Monotone Submodular Maximization: Offline and Secretary Algorithms

Anupam Gupta, Aaron Roth+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、制約付き非単調なサブモジュラ最大化のための単純でグリーディーなアルゴリズムを提示し、p-独立性系では多項式時間O(p)-近似、ナップサック制約下では定数因子近似を達成する。この手法は、単調なサブモジュラ関数のアルゴリズムを非単調な設定に適応し、さらにセクレタリー設定へ拡張することで、一様および分割マトロイドではO(1)-近似、一般のランク-kマトロイドではO(log k)-近似を達成する。

ABSTRACT

Constrained submodular maximization problems have long been studied, with near-optimal results known under a variety of constraints when the submodular function is monotone. The case of non-monotone submodular maximization is less understood: the first approximation algorithms even for the unconstrainted setting were given by Feige et al. (FOCS '07). More recently, Lee et al. (STOC '09, APPROX '09) show how to approximately maximize non-monotone submodular functions when the constraints are given by the intersection of p matroid constraints; their algorithm is based on local-search procedures that consider p-swaps, and hence the running time may be n^Omega(p), implying their algorithm is polynomial-time only for constantly many matroids. In this paper, we give algorithms that work for p-independence systems (which generalize constraints given by the intersection of p matroids), where the running time is poly(n,p). Our algorithm essentially reduces the non-monotone maximization problem to multiple runs of the greedy algorithm previously used in the monotone case. Our idea of using existing algorithms for monotone functions to solve the non-monotone case also works for maximizing a submodular function with respect to a knapsack constraint: we get a simple greedy-based constant-factor approximation for this problem. With these simpler algorithms, we are able to adapt our approach to constrained non-monotone submodular maximization to the (online) secretary setting, where elements arrive one at a time in random order, and the algorithm must make irrevocable decisions about whether or not to select each element as it arrives. We give constant approximations in this secretary setting when the algorithm is constrained subject to a uniform matroid or a partition matroid, and give an O(log k) approximation when it is constrained by a general matroid of rank k.

研究の動機と目的

• 単調な場合を除く制約付き非単調サブモジュラ最大化のための効率的で多項式時間のアルゴリズムの開発。
• 既存の単調サブモジュラ関数のためのグリーディー・アルゴリズムを、保証可能な近似性能を伴って非単調な設定へ拡張すること。
• オフラインのアルゴリズムを、要素がランダムな順序で到着し、決定が不可逆であるオンラインのセクレタリー設定へ適応すること。
• セクレタリー・モデルにおける非単調サブモジュラ最大化のための、初めての定数因子近似アルゴリズムの提供。
• 従来の局所探索法と比較して、実行時間に指数的向上をもたらすが近似因子にわずかな定数要因の犠牲を払うことで、近似比と実行時間のトレードオフを改善すること。

提案手法

• 閾値に基づくグリーディー・アルゴリズムを用い、S1およびS2という2つの集合を維持し、要素の限界利益が閾値τを上回り、独立性が保たれる場合にのみ追加する。
• ランダムな閾値選択戦略を採用し、w1（最も価値の高い要素の値）を用いて{w1, w1/2, ..., w1/2k}から一様にτをサンプリングする。
• セクレタリー設定では二重サンプリング技術を適用：半数の要素をサンプリングして最高価値の要素を推定し、その重みに基づいてランダムな閾値を設定する。
• 非単調最大化を、単調ケースで用いられる標準的なグリーディー・アルゴリズムの複数回の実行に還元する。この際、サブモジュラ性と独立性制約を活用する。
• 和集合の不等式とサブモジュラ性を用いて、限界利益が低い要素を破棄することによる損失を抑え、期待値が最適解の定数因子以内に収まるように保証する。
• 複数の閾値レベルにわたるランダムラウンド戦略を実装し、セクレタリー・モデルで対数的近似を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調サブモジュラ最大化のためのグリーディー・アルゴリズムを、制約付きの非単調サブモジュラ関数へ効果的に適応できるか？
• RQ2 多項式時間アルゴリズムを用いた場合、p-独立性系における非単調サブモジュラ最大化の近似比はどの程度達成可能か？
• RQ3 カードナリティおよび分割マトロイド制約下で、セクレタリー設定における非単調サブモジュラ最大化の定数因子近似が達成可能か？
• RQ4 一般のマトロイド制約下で、セクレタリー・モデルにおける非単調サブモジュラ最大化の最良の達成可能な近似比は何か？
• RQ5 従来の局所探索法と比較して、非単調サブモジュラ最大化における近似比と実行時間のトレードオフをどのように改善できるか？

主な発見

• 本稿では、nおよびpに関して多項式時間の実行時間で、p-独立性系における非単調サブモジュラ最大化に対してO(p)-近似を達成し、従来の指数時間の局所探索法を上回る。
• グリーディーに基づくアプローチにより、ナップサック制約付きの非単調サブモジュラ最大化において定数因子近似を達成する。
• 一様マトロイドおよび分割マトロイド制約下のセクレタリー設定においてO(1)-近似を達成し、非単調目的関数における初めての結果である。
• 一般のランク-kマトロイド制約下のセクレタリー・モデルにおいてO(log k)-近似を達成し、線形マトロイド・セクレタリー問題に既知の境界と一致する。
• 閾値を幾何級数から選び、2つの独立集合を用いることで、最適解に対して定数の期待値を保証する。
• 分析により、閾値を幾何級数から選択し、2つの独立集合を用いることで、最適解に対して定数の期待値が保証されることが示された。