[論文レビュー] Constrained Sparse Galerkin Regression

Jean-Christophe Loiseau, Steven L. Brunton|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、エネルギー保存を伴う二次非線形項といった物理的制約を強制することで、本質的非線形性を保持する非線形低次元モデルを特定するデータ駆動型の制約付きスパースガラーキン回帰を提案する。本手法は、特徴的固有分解（POD）とスパース回帰を組み合わせ、高解像度ソルバを必要とせず、従来のガラーキン射影法と同等の精度を達成する。また、切断されたモードを正確に再現するために不可欠な三次非線形項を捉えることができ、円柱流れおよびキャビティ流れのケースにおいて、標準的手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Although major advances have been achieved over the past decades for the reduction and identification of linear systems, deriving nonlinear low-order models still is a chal- lenging task. In this work, we develop a new data-driven framework to identify nonlinear reduced-order models of a fluid by combining dimensionality reductions techniques (e.g. proper orthogonal decomposition) and sparse regression techniques from machine learn- ing. In particular, we extend the sparse identification of nonlinear dynamics (SINDy) algorithm to enforce physical constraints in the regression, namely energy-preserving quadratic nonlinearities. The resulting models, hereafter referred to as Galerkin regression models, incorporate many beneficial aspects of Galerkin projection, but without the need for a full-order or high-fidelity solver to project the Navier-Stokes equations. Instead, the most parsimonious nonlinear model is determined that is consistent with observed mea- surement data and satisfies necessary constraints. Galerkin regression models also readily generalize to include higher-order nonlinear terms that model the effect of truncated modes. The effectiveness of Galerkin regression is demonstrated on two different flow configurations: the two-dimensional flow past a circular cylinder and the shear-driven cavity flow. For both cases, the accuracy of the identified models compare favorably against reduced-order models obtained from a standard Galerkin projection procedure. Present results highlight the importance of cubic nonlinearities in the construction of accurate nonlinear low-dimensional approximations of the flow systems, something which cannot be readily obtained using a standard Galerkin projection of the Navier-Stokes equations. Finally, the entire code base for our constrained sparse Galerkin regression algorithm is freely available online.

研究の動機と目的

• 高解像度ソルバに依存せずに、流体流れの非線形低次元モデルを特定するデータ駆動型フレームワークの開発。
• 特にエネルギー保存を伴う二次非線形項といった物理的制約を、スパース回帰に組み込み、モデルの忠実性を向上。
• 切断されたモードの正確なモデル化を可能とするために、高次非線形項の組み込みを実現。
• 代表的な流体力学的問題（円柱の周りの流れおよびせん断駆動キャビティ流れ）における本手法の有効性を実証。
• 再現可能性および流体力学研究分野への広範な採用を促進するため、自由に利用可能なコードベースの提供。

提案手法

• 次元削減のための特徴的固有分解（POD）と、非線形ダイナミクスのスパース同定（SINDy）を組み合わせ、方程式の同定を実施。
• ナビエ–ストークス方程式との構造的整合性を保つために、スパース回帰最適化を修正し、特にエネルギー保存を伴う二次非線形項を物理的制約として強制。
• 切断されたPODモードの影響をモデル化するために、SINDyを三次非線形項の含む形に拡張。
• スパarsityノブλを用いてモデルの複雑さとデータ適合性のバランスを調整し、事前指標（決定係数r²スコアや非ゼロ係数の数）を用いてモデル選択。
• 凸最適化（例：CVXOPTを用いて）を用いて、スパース回帰問題を効率的かつ安定的に解く。
• 精度とスパarsityのトレードオフをPareto最適解として特定することで、過学習および過小適合を回避するモデル選択を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型スパース回帰フレームワークは、主要な物理的制約を保持しつつ、流体流れの非線形低次元モデルを正確に同定できるか？
• RQ2 高解像度流体シミュレーションの全方程式が入手できない状況下でも、制約付きスパースガラーキン回帰はそのダイナミクスをどれほど正確に再現できるか？
• RQ3 三次非線形項は低次元モデルの精度にどのように影響を及ぼし、データ駆動型手法によって効果的に捉えることができるか？
• RQ4 エネルギー保存を伴う二次非線形項を強制することで、制約なしスパース回帰に比べ、モデルの安定性および予測精度が向上するか？
• RQ5 本手法は、ブレフボディ流れやキャビティ流れといった異なる流れ形状に、最小限の事前知識で一般化可能か？

主な発見

• 制約付きスパースガラーキン回帰モデルは、高解像度ソルバを必要とせず、標準的なガラーキン射影法と同等の予測精度を達成する。
• Re=100の2次元円柱流れにおいて、三次モデル（B1）は係数0.0053のa₁³や係数-2.487のa₁a₂²といった顕著な三次項を含んでおり、ダイナミクスの捕捉に不可欠である。
• Re=4250のせん断駆動キャビティ流れにおいて、三次モデル（B2）は係数0.2242のa₁a₂aΔや係数2.445のa₂³といった強い三次相互作用を含んでおり、高次項の重要性を示している。
• 本手法は、係数13.53のa₁aΔおよび係数-13.53のa₂aΔといった項を通じて、平均流れの歪みダイナミクスを的確に同定し、非平衡状態の捕捉に不可欠である。
• スパarsityノブλによるモデル選択において、λ≈0.1でParetoフロントにカーブの急峻な変化（kink）が観察され、平均流れ方程式の精度を著しく低下させる可能性があるスパarsityのトレードオフが明確に示された。
• 本アルゴリズムおよびコードベースはすべて公開されており、他の流体系への再現および応用を可能としている。