[論文レビュー] Constructible functions and Lagrangian cycles on orbifolds

Davesh Maulik, David Treumann|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、余次元理論を用いて、構成可能関数とラグランジュ的サイクルの間の対応を確立することで、滑らかなオルビフォールドへカシワラのインデックス公式を一般化する。構成可能関数の重み付きオイラー特性が、その特徴的サイクルとゼロ切断の交差数に等しいことを証明し、ベイレーディの定理をオルビフォールド設定へ拡張し、ドナルドソン＝トーマス理論への応用を可能にする。

ABSTRACT

On a smooth manifold M, the Kashiwara index formula expresses the weighted Euler characteristic of a constructible function in terms of its characteristic cycle. We generalize this formula to the case when M is a smooth orbifold, answering a question of Behrend.

研究の動機と目的

• カシワラのインデックス公式を滑らかな多様体から滑らかなオルビフォールドへ拡張し、ベイレーディが提起した問いに応えること。
• オルビフォールドのオイラー特性が整数値ではなく有理数値を取るという微妙な点を、ボレル＝ムーレー同調とコンパクト台付きサイクルを用いて解決すること。
• サブアナリティックサイト上のコシーフを用いて、オルビフォールド上での構成可能関数とラグランジュ的サイクルの局所から大域への枠組みを確立すること。
• あるコンpactなオルビフォールド上での構成可能関数の重み付きオイラー特性が、その特徴的サイクルとゼロ切断の交差数に等しいことを証明すること。
• 特にカルラ＝ヤウ3次元多様体の文脈において、代数幾何における対称的障害理論に応用すること。

提案手法

• サブアナリティックグロタンディーク・サイト上のコシーフ理論を用いて、構成可能関数とラグランジュ的サイクルの局所から大域への振る舞いを扱う。
• コンパクト台付きの構成可能関数と水平方向にコンパクト台を持つラグランジュ的サイクルを、コシーフとして定義することで、非コンパクト台付き関数に起因する問題を回避する。
• 局所的に古典的インデックス公式を適用し、コシーフコホモロジーと降下技術を用いて大域へ拡張する。
• エタール写像による表現可能な空間を用いて、オルビフォールド上での代数的コシーフとしての構成可能関数とラグランジュ的サイクルを定義する。
• 商スタック上での代数的構成可能関数と代数的ラグランジュ的サイクルの同型を用いて、大域的構造をオルビフォールド設定へ関連付ける。
• 余接バンドル内でのゼロ切断への鋭い交差を用いて、対称的障害理論の文脈で仮想基本クラスを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成可能関数の重み付きオイラー特性とその特徴的サイクルがゼロ切断と交差する数の間の関係を示すカシワラのインデックス公式が、滑らかなオルビフォールドへ拡張可能か？
• RQ2 オルビフォールド設定において、オイラー特性が整数値ではなく有理数値を取るという点をどのように解釈すべきか？
• RQ3 局所から大域への性質を尊重するオルビフォールド上での構成可能関数とラグランジュ的サイクルの定義の正しい枠組みは何か？
• RQ4 オルビフォールド上での構成可能関数の特徴的サイクルはどのように定義され、オイラー統合と関連づけられるか？
• RQ5 非自明なオルビフォールド幾何の文脈において、オルビフォールドインデックス公式を用いてドナルドソン＝トーマス理論における仮想基本クラスの次数を計算可能か？

主な発見

• オルビフォールドインデックス公式が成立する：コンパクトなオルビフォールドに対して、構成可能関数の重み付きオイラー特性は、余接バンドル内でのその特徴的サイクルとゼロ切断の交差数に等しい。
• コンパクトなオルビフォールド上での構成可能関数の特徴的サイクルは、ボレル＝ムーレー同調に於いてwell-definedであり、水平方向にコンパクト台を持つ錐型ラグランジュ的サイクルの群に属する。
• 代数的構成可能関数からオルビフォールド上のグローバル構成可能関数への引き戻し写像は同型であり、局所的な代数的構成が大域へ拡張可能であることを示す。
• オルビフォールド上での代数的ラグランジュ的サイクルの群は、水平方向にコンパクト台を持つグローバルラグランジュ的サイクルの群と同型である。
• この公式は対称的障害理論へ拡張可能である：コンパクトなデリーニ＝マクマーフォードスタックに、対称的完全障害理論が与えられたとき、仮想基本クラスの次数はベイレーディ関数の重み付きオイラー特性に等しい。
• この結果により、例えば除数に関する3次元多様体上の層の文脈など、グローバル商や滑らかさの仮定なしに、オルビフォールド設定におけるドナルドソン＝トーマス不変量の計算が可能になる。