[論文レビュー] String topology for stacks

Kai Behrend, Rafael J. L. Morcillo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 62被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、微分可能スタック上のストリングトポロジーを統一的な枠組みで扱えるようにする、トポロジカルスタックの二変量理論を確立する。同定された向き付きスタックの概念を導入し、自由ループスタックと隠れたループスタック（インertiaスタック）が自然な準同型によって関係するフォロビウス代数構造を持つことを証明する。さらに、自由ループスタックのホモロジーがホモロジー的 conformal field theory と整合するBV代数構造を持つことを示し、Chen-Ruan orbifoldコホモロジーと交差ペアリングを一般化する。

ABSTRACT

We establish the general machinery of string topology for differentiable stacks. This machinery allows us to treat on an equal footing free loops in stacks and hidden loops. In particular, we give a good notion of a free loop stack, and of a mapping stack $\map(Y,\XX)$, where $Y$ is a compact space and $\XX$ a topological stack, which is functorial both in $\XX$ and $Y$ and behaves well enough with respect to pushouts. We also construct a bivariant (in the sense of Fulton and MacPherson) theory for topological stacks: it gives us a flexible theory of Gysin maps which are automatically compatible with pullback, pushforward and products. Further we prove an excess formula in this context. We introduce oriented stacks, generalizing oriented manifolds, which are stacks on which we can do string topology. We prove that the homology of the free loop stack of an oriented stack and the homology of hidden loops (sometimes called ghost loops) are a Frobenius algebra which are related by a natural morphism of Frobenius algebras. We also prove that the homology of free loop stack has a natural structure of a BV-algebra, which together with the Frobenius structure fits into an homological conformal field theories with closed positive boundaries. Using our general machinery, we construct an intersection pairing for (non necessarily compact) almost complex orbifolds which is in the same relation to the intersection pairing for manifolds as Chen-Ruan orbifold cup-product is to ordinary cup-product of manifolds. We show that the hidden loop product of almost complex is isomorphic to the orbifold intersection pairing twisted by a canonical class. Finally we gave some examples including the case of the classifying stacks $[*/G]$ of a compact Lie group.

研究の動機と目的

• ストリングトポロジーを、これまでの向き付き多様体に限られていたものを、微分可能スタック（オービフォールドや分類スタックを含む）へ一般化すること。
• Gysin写像、引き戻し、押し出し、および完全な整合性を持つ積を備えた、トポロジカルスタックのための二変量理論を構築すること。
• 向き付き多様体の一般化としての向き付きスタックを定義し、ストリングトポロジーの構成を可能にすること。
• 自由ループスタックと隠れたループスタック（インertiaスタック）のホモロジーの間の自然な準同型を確立し、それらがフォロビウス代数をなすことを示すこと。
• ほぼ複素オービフォールドのための交差ペアリングを構成し、Chen-Ruanカップ積を一般化するとともに、標準的トランスフォーメーションを介して隠れたループ積と関係づけること。

提案手法

• Fulton-MacPhersonの枠組みを用いて、独立的な引き戻しと制限付き押し出しの下で、二変量群と操作を定義することで、トポロジカルスタックのための二変量理論を構築する。
• ベクトルバンドルのための過剰公式とド・ラーム同型を用いてGysin写像を構成し、引き戻しと積とへの整合性を保証する。
• 群oidsの表示とマッピングスタックを用いて、自由ループスタックとインertiaスタック（隠れたループ）を定義し、それらのホモロジーがフォロビウス代数であることを確立する。
• S^1作用とループ積を介して、自由ループスタックホモロジーがBV代数構造を持つことを証明し、正の境界を持つホモロジー的 conformal field theory に適合させることを示す。
• 通常の非特異写像と接バンドルを用いて、向き付きスタックを定義し、スタックへのPoincaré双対性を一般化する。
• 二変量の道具立てを用いて、ほぼ複素オービフォールドの交差ペアリングを構成し、それが標準的クラスによるトランスフォームを介して隠れたループ積と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリングトポロジーの作用素（例えばループ積やBV構造）は、多様体から微分可能スタックへどのように一般化できるか？
• RQ2 スタック上の自由ループスタックと隠れたループスタック（インertiaスタック）のホモロジーに対して、正しい「フォロビウス代数」の概念とは何か？
• RQ3 スタックのための二変量理論は、引き戻しと積と整合する形で、Gysin写像と過剰公式をどのようにサポートするか？
• RQ4 ほぼ複素オービフォールドの文脈において、オービフォールド交差ペアリングと隠れたループ積の関係は何か？
• RQ5 スタックの自由ループスタックのホモロジーは、閉じた正の境界を持つホモロジー的 conformal field theory としてどのように構成されるか？

主な発見

• 向き付きスタックの自由ループスタックのホモロジーは、多様体に対する古典的なストリングトポロジー結果を拡張する形で、自然にBV代数構造を持つ。
• 自由ループスタックのホモロジーとインertiaスタック（隠れたループ）のホモロジーは、ともにフォロビウス代数であり、それらの間の自然な準同型がフォロビウス構造を保存する。
• ほぼ複素オービフォールドのための交差ペアリングは、標準的クラスによるトランスフォームを介して隠れたループ積と同型であり、Chen-Ruanカップ積を一般化する。
• 構築された二変量理論は、非コンパクトまたはコンパクト台を持たないスタックに対しても、完全な過剰公式と整合性のあるGysin写像、引き戻し、押し出しをサポートする。
• コンパクトなリー群Gの分類スタック[*/G]に対して、自由ループスタックのストリングトポロジーを計算し、それがGのG-不変コホモロジーと同型であることを示し、BV構造がループ空間構造を反映している。
• 理論により、スタック上の自由ループと隠れたループが統一され、隠れたループが自然にインertiaスタックとして現れ、その積構造がオービフォールド交差ペアリングの双対であることが示される。