[論文レビュー] Constructible sheaves are holonomic

Alexander Beilinson|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

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ひとこと要約

この論文は、任意の基底体上の代数的多様体における構成可能層が、基底多様体の次元と等しい次元の特異的台を持つことを確立する。これは、複素幾何学における古典的結果を正標数へと拡張したものである。Brylinskiのラドン変換とLefschetzパENCILの技法を用いて、エタール構成可能層の特異的台が、その成分が次元 dim X であるコタングェントバンドル内の閉錐部分集合であることを証明する。正標数ではそれらがラグランジュ的でなくてもよいが、依然として次元 dim X を持つ。

ABSTRACT

We show that for any constructible sheaf F on a smooth algebraic variety X over a field of arbitrary characteristic its singular support SS(F) is equidimensional of dimension dim X. Here SS(F) is the minimal closed subset of the cotangent bundle of X such that every (local) function on X with df(X) disjoint from SS(F) is locally acyclic relative to F.

研究の動機と目的

• 複素幾何学における構成可能層の特異的台に関するKashiwaraおよびShapiraの結果を、任意の基底体上の代数的多様体へと拡張すること。
• Deligneが指摘したように、正標数では特異的台の成分がラグランジュ的でない場合があることに対処すること。
• エタール構成可能層の特異的台が、コタングェントバンドル内の閉錐部分集合であり、その成分が次元 dim X であることを確立すること。
• 正標数における非局所的技法と微局所的技法を用いて、特異的台の幾何的特徴づけを提供すること。
• ラドン変換とLefschetzパENCILを用いて、特徴的サイクルおよび特異的台の理論を正標数へ一般化すること。

提案手法

• Brylinskiのラドン変換を、量子化された正規変換のグローバル代数幾何的類似物として用いる。
• ファイバーごとの幾何学を用いて特異的台を分析するため、LefschetzパENCIL理論のバージョンを適用する。
• 引き戻しと押し出しにおける層の振る舞いを定義・制御するために、$C$-横断的条件を用いる。
• 微局所的台とアセイクリック性を特徴付けるために、$C$-横断的テストペアの概念を導入する。
• 錐部分集合の射影化と一般次元の計算を用いて、特異的台の構造を研究する。
• 変形技法（例えば、関数に立方項を加えること）を用いて、特徴的サイクル計算における所望の零点の位数を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体上の滑らかな多様体におけるエタール構成可能層の特異的台は、正標数であっても次元 dim X に等しい成分を持つだろうか？
• RQ2 正標数において、$C$-横断的テストペアおよび微局所的アセイクリック性を用いて特異的台を特徴づけられるだろうか？
• RQ3 正標数において、ラドン変換の一般次元は特異的台の幾何にどのように関係するか？
• RQ4 正標数において、ラドン変換写像が双有理的または2次写像である条件は何か？
• RQ5 特異点における所望の零点の位数を持つ関数を構成することで、特徴的サイクルを計算できるだろうか？

主な発見

• 任意の基底体上の滑らかな多様体 $X$ 上のエタール構成可能層 ${\boldsymbol{\frak{F}}}$ の特異的台 $SS({\boldsymbol{\frak{F}}})$ の成分は、正確に $\dim X$ の次元を持つ。
• 正標数では、$SS({\boldsymbol{\frak{F}}})$ の成分がラグランジュ的でないことがある。これはDeligneによって示され、具体例でも確認されている。
• ラドン変換は、$p \neq 2$ のときには一般次元が1（双有理的）である写像 $\tilde{p}^\vee_C$ を誘導する。$p = 2$ で $C$ が $\kappa$-自己双対的でかつ微分が奇数ランクのとき、一般次元は2になり得る。
• 写像 $\tilde{p}^\vee_C$ は一般に分離的であり、そのファイバーの位数は $C$ との交点理論により一般次元を計算する。
• 任意の $\nu \in C_{\text{reg}}$ に対して、$f = q_1/q_2$ と表される有理関数 $f$ を、次数 $\leq d$ となるように選び、$df(x) = \nu$ かつ $f$ がファイバーに沿って2次の零点を持つようにできる。これにより特徴的サイクルの振る舞いが正しくなる。
• このような関数の構成は、$f' = f + a^3$ として二次モデルを変形することにより達成され、特異点における所望の零点の位数が保証される。