[論文レビュー] On the length of perverse sheaves and D-modules

Nero Budur, Pietro Gatti+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、滑らかな複素代数的多様体上の perverse sheaf および正則特徴的 D-加群の長さ関数が絶対的 Q-構成可能関数であることを確立する。主な結果は、滑らかな多様体上の構成可能複体または perverse sheaf 間の固定された導来関手に対して、その像の長さが所定の値をとるランク1の局所系の集合が、Q 上定義された有限個のねじれ移動付き代数的部分トーラスの有限回の合併、共通部分、補集合をとることで得られるザリスキ構成可能部分集合であることを示している。

ABSTRACT

We prove that the length function for perverse sheaves and algebraic regular holonomic D-modules on a smooth complex algebraic variety Y is an absolute Q-constructible function. One consequence is: for "any" fixed natural (derived) functor F between constructible complexes or perverse sheaves on two smooth varieties X and Y, the loci of rank one local systems L on X whose image F(L) has prescribed length are Zariski constructible subsets defined over Q, obtained from finitely many torsion-translated complex affine algebraic subtori of the moduli of rank one local systems via a finite sequence of taking union, intersection, and complement.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素代数的多様体上の perverse sheaf および正則特徴的 D-加群の長さ関数が絶対的 Q-構成可能関数であることを確立すること。
• 滑らかな多様体上の構成可能複体または perverse sheaf 間の固定された導来関手に対して、その像の長さが所定の値をとるランク1の局所系の集合が Q 上ザリスキ構成可能であることを示すこと。
• 局所系のモジュライ空間内の長さジャンプ集合の幾何学的・算術的構造を、ねじれ移動付き部分トーラスを用いて記述すること。
• Riemann-Hilbert対応および perverse 共通層関手を用いて、導来カテゴリにおける長さ不変量の理解を拡張すること。
• このような集合が任意ではなく、Q 上定義された明確な代数的幾何的構造を持つことを示すこと、特に高ランクの局所系設定においても同様である。

提案手法

• D-加群と perverse sheaf 間の長さを保存する同値関係を保つ Riemann-Hilbert 対応を用いる。
• alternating 和として perverse 共通層の長さの和を用いて、導来カテゴリ上での長さを perverse 共通層関手の長さにより定義する。
• 絶対的 Q-構成可能集合の理論を用いる。これは、Q 上の複素アフィン代数的部分トーラスのねじれ移動体の有限結合（合併、共通部分、補集合）として定義される。
• 区分三角形におけるコーンの次元および台の帰納法を用いて、長さ関数の Q-構成可能性を示す。
• スカイクラッシャー層を含む短い完全系列を用いて、局所系の中間拡張および直接像（例：$Rj_*$, $Rf_*$）の構造を分析する。
• 固有の場合に分解定理を適用し、長さを像内の半単純直接和成分の数として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな複素代数的多様体上の perverse sheaf および D-加群の長さ関数は絶対的 Q-構成可能関数か？
• RQ2 固定された導来関手による像の長さが所定の値をとるランク1の局所系の集合は、Q 上定義されたザリスキ構成可能部分集合として記述可能か？
• RQ3 局所系のモジュライ空間内の長さジャンプ集合の幾何学的・算術的構造は何か？
• RQ4 滑らかな多様体間の代数的写像に関する交差複体の直接像の長さは、どのように振る舞うか？
• RQ5 高ランク局所系のモジュライ空間内の長さ集合は、どの程度 Q-構成可能構造を継承するか？

主な発見

• 滑らかな複素代数的多様体上の perverse sheaf および正則特徴的 D-加群の長さ関数は絶対的 Q-構成可能関数である。
• 任意の代数的写像 $f: X \to Y$ および滑らかな部分多様体 $S \to X$ に対して、集合 $\big\backslash \{ L \to \text{M}_B(S,1) \mid \ell({}^pR^if_*(IC_{\overline{S}}(L))) = k \big\}$ は絶対的 Q-構成可能部分集合である。
• 固有の場合、$^pR^if_*(IC_{\overline{S}}(L))$ の長さは半単純直接和成分の数を数え、そのような集合は Q-構成可能である。
• 複素数体から2点を除いた空間 $\mathbb{C} \setminus \{a,b\}$ 上のランク2局所系に対して、$Rj_*(L[1])$ の所定の長さを持つ集合は、$\mathbb{C}^3$ 内の線形および二次的部分多様体の合併であり、点 $(2,2,2)$ や直線 $\{x=2, y=z\}$ を含む。
• $Rj_*(L[1])$ の長さジャンプ集合は単純な部分集合上で線形であり、$\ell(Rj_*(L[1])) \geq 6$ であるのは点 $(2,2,2)$ のみである。
• $m \mapsto \ell(Rj_!(q(L)[n]) \otimes^L_R R/m)$ は、区分三角形におけるコーンの台の次元に関する帰納法により Q-構成可能であることが示された。