[論文レビュー] Constructing compact manifolds with exceptional holonomy

Dominic Joyce|ArXiv.org|Mar 15, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、それぞれ例外的ホロノミー群 $G_2$ および $Σ\text{pin}(7)$ を持つコンパクトな7次元および8次元多様体の構成法について包括的なサーベイを提示する。主にトーラスの商空間 $T^n/\Gamma$ およびカラビ＝ヤウの商空間の特異点解消を用いる。主な貢献は、明示的に計算されたベッチ数をもつ新しい例の体系的生成であり、特に $b^4$ が11,662に達するコンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体の存在を示し、このような多様体の豊富で多様な「地理的」構造を示している。

ABSTRACT

The exceptional holonomy groups are G2 in 7 dimensions, and Spin(7) in 8 dimensions. Riemannian manifolds with these holonomy groups are Ricci-flat. This is a survey paper on constructions for compact 7- and 8-manifolds with holonomy G2 and Spin(7). The simplest such constructions work by using techniques from complex geometry and Calabi-Yau analysis to resolve the singularities of a torus orbifold T^7/G or T^8/G, for G a finite group preserving a flat G2 or Spin(7)-structure on T^7 or T^8. There are also more complicated constructions which begin with a Calabi-Yau manifold or orbifold. All the material in this paper is covered in much more detail in the author's book, "Compact manifolds with special holonomy", Oxford University Press, 2000.

研究の動機と目的

• コンパクトな7次元および8次元多様体に例外的ホロノミー群 $G_2$ および $Σ\text{pin}(7)$ を持つ既知の構成法を統一的にサーベイすること。
• 長年にわたり非コンパクトな形でのみ知られていた、これらのホロノミー群を持つコンパクトな例の構成という長年の問題に取り組むこと。
• コンパクトな7次元多様体 $M$ に対して $\pi_1(M)$ が有限のとき、$G_2$-計量のモジュライ空間が次元 $b^3(M)$ の滑らかさを示すこと。
• コンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体が、カラビ＝ヤウ4次元軌道空間の解消と群作用を用いて構成可能であることを示すこと。
• 幅広いベッチ数を持つ例の構成を通じて、コンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体の「地理的」構造を調査すること。特に $b^4 = 11,662$ の例を含む。

提案手法

• $G_2$-多様体の構成は、$T^7/\Gamma$ の特異点をクレパント解消することにより、自明な torsion-free $G_2$-構造を得ることに帰着する。
• $Σ\text{pin}(7)$-多様体のための方法は、自由な反正則的対合 $\beta$ を持つカラビ＝ヤウ4次元軌道空間 $Y$ を用い、商 $X = Y/\langle\beta\rangle$ を形成することで、自明な torsion-free $Σ\text{pin}(7)$-構造を得ることである。
• 主な技術的道具は、解消多様体上で閉かつ余閉である4形式 $\Omega$（すなわち $d\Omega = d^*\Omega = 0$）の存在であり、これにより自明な torsion-free $Σ\text{pin}(7)$-構造が定義される。
• ホロノミー群は、群 $G$ が $\mathbb{R}^8$ 上に作用する様子に依存し、部分群の包含関係に応じて $\mathop{\rm Hol}(g) = \mathbb{Z}_2 \ltimes \mathop{\rm SU}(4)$ または $\mathop{\rm Spin}(7)$ となる。
• 重要な事実として、$\Omega = \frac{1}{2}\omega \wedge \omega + \mathop{\rm Re}(\theta)$ が成り立つ。ここで $\omega$ はケーラー形式、$\theta$ は正則体積形式である。
• 最終的な計量は、解消された部品を接合し、ホロノミー群が商および解消の過程で保存されることを確認することで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス軌道空間 $T^7/\Gamma$ の解消により、ホロノミー群 $G_2$ を持つコンパクトな7次元多様体を構成可能か？
• RQ2 コンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体のホロノミー群が $Σ\text{pin}(7)$ に正確に等しいための条件は何か？（真の部分群に落ちるのを避けるために）
• RQ3 異なる構成法におけるコンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体のベッチ数はどのように変化するか？また、可能な値の範囲はどの程度か？
• RQ4 カラビ＝ヤウ4次元軌道空間を用いて、制御されたトポロジーを持つコンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体を構成可能か？
• RQ5 コンパクトな $Σ\text{pin}(7)$-多様体の集合は、多様で広範なものか、それとも現在の例は特異的・非代表的なものか？

主な発見

• 本稿は、14種の異なるベッチ数のセットを持つコンパクトな8次元多様体（ホロノミー群 $Σ\text{pin}(7)$）を構成し、特に $b^4 = 11,662$ の例を含む。これはトーラス軌道空間の解消から得られる例よりも顕著に高い。
• カラビ＝ヤウ4次元軌道空間から解消を経て得られる $Σ\text{pin}(7)$-多様体の中央ベッチ数 $b^4$ は11,662に達し、従来の知識よりもはるかに広大な「地理的」構造を示している。
• $G_2$-多様体に関しては、$\pi_1(M)$ が有限のとき、ホロノミー群 $G_2$ を持つ計量のモジュライ空間は次元 $b^3(M)$ の滑らかな多様体である。
• 得られた計量のホロノミー群は、部分群 $\mathbb{Z}_2 \ltimes \mathop{\rm SU}(4)$ が $\mathop{\rm Spin}(7)$ にどのように包含されるかに依存し、異なる包含関係により異なるホロノミー群が得られる。
• 異なるホロノミー部分群を持つ部品を組み合わせることで、全体のホロノミー群が $\mathop{\rm Spin}(7)$ に達することが示され、完全な例外的ホロノミー群を達成するメカニズムが明らかになった。
• カラビ＝ヤウ4次元軌道空間を用いた構成により、$b^2 = 0$, $b^3 = 0$, および $b^4 = 910$, $1294$, $2446$, $4750$ を持つ $Σ\text{pin}(7)$-多様体が得られ、多様なトポロジー型の存在が示された。