[論文レビュー] Constructing fold maps by surgery operations and their Reeb spaces

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、折りたたみ写像における手術操作—特に M-バブルリングおよび S-バブルリング—を導入し、その再び空間のホモロジー群を制御可能な形にした新しい写像の構成を分析している。これらの操作を繰り返し適用することで、元の多様体構造を保ちながら再び空間のホモロジーを体系的に変更する手法が示され、折りたたみ写像不変量を用いた多様体の分類に強力なツールが提供される。

ABSTRACT

In this paper, as a fundamental study on the theory of Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps and applications to geometric theory of manifolds, which were started in 1950s by differential topologists such as Thom and Whitney and have been studied actively, we study algebraic and differential topological properties of certain fold maps and their source manifolds. More precisely, we investigate fold maps obtained by surgery operations to fundamental fold maps and especially, homology groups of Reeb spaces, which are defined as the space of all connected components of inverse images, often inheriting important invariants of manifolds such as homology groups and fundamental and important tools in studying manifolds. Studies of this paper are especially motivated by the stream of studies of fold maps satisfying good (differential) topological properties such as special generic maps, which were defined in 1970s and studied since 1990s by Saeki and Sakuma, and round fold maps, which were introduced by the author in 2012--2014, and their source manifolds. Moreover, constructions of generic maps by fundamental surgeries to investigate manifolds by using generic maps, studied by Kobayashi and Saeki etc., also have motivated the present study.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上での折りたたみ写像を、手術操作を用いて体系的に構成する方法を開発すること。
• 折りたたみ写像に関連する再び空間のホモロジー的性質、特に手術操作下での性質を分析すること。
• 特殊genericおよびラウンド折りたたみ写像に関する既知の結果を一般化するため、再び空間ホモロジーを変更する新しい操作を導入すること。
• バブルリング操作の有限反復によって再び空間ホモロジーを正確に制御できる条件を確立すること。
• 再び空間の位相的不変量と元の多様体の不変量を関連付けることで、折りたたみ写像を用いた多様体の分類フレームワークを構築すること。

提案手法

• 本稿では、再び空間を変更するために、折りたたみ写像に M-バブルリングおよび S-バブルリング操作を基本的手術技法として用いる。
• これらの操作は、基本的な折りたたみ写像に対して繰り返し適用され、生成多面体は正則値集合の内部に選ばれ、結果として得られる位相的構造を制御する。
• 構成は、多様体（または球面）のバケツを再び空間に埋め込むことに依存し、写像の構造と整合性を持つように保証される。
• 再び空間のホモロジー群は、PID $ R $ 上の有限生成加群 $ G_j $ を直接和成分として加えることで変更される。
• これらの操作は、正則値集合の連結成分内の開球内に適用され、特異集合のコディメンジョンと滑らかさ構造を保つ。
• この方法により、正則値の逆像は、操作の種別に応じて、連結和またはハンドル接続の形を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 折りたたみ写像における手術操作をどのように用いることで、その再び空間のホモロジー群を体系的に変更できるか？
• RQ2 有限回の M-バブルリングまたは S-バブルリング操作の列が、望ましい再び空間ホモロジーを持つ折りたたみ写像を生成するための条件は何か？
• RQ3 これらの操作によって再び空間のホモロジーを変更する際、元の多様体の微分同相型を保ったままにできるか？
• RQ4 正則値集合内の特定の生成多面体を選択することで、再び空間ホモロジーをどの程度まで制御できるか？
• RQ5 異なる種類のバブルリング操作における、正則値の逆像の振る舞いはどのように変化するか？

主な発見

• M-バブルリング操作の有限反復により、$ H_j(W_{f'}; R) \to H_j(W_f; R) \bigoplus G_j $ を満たす折りたたみ写像 $ f' $ を構成可能であり、ここで $ G_j $ は PID $ R $ 上の有限生成加群である。
• もし $ G_j $ が $ k $ 次元球面の $ g_{n-k} $ 個のコピーから生成される場合、対応する再び空間ホモロジーは $ G_j $ との直接和と同型である。
• 任意の $ j $ に対して、$ G_0 $ が自明で $ G_n $ が非自明であれば、$ H_j(W_{f'}; R) $ を $ H_j(W_f; R) \bigoplus G_j $ と同型にできる。
• 構成では、各段階で正則値の逆像の連結成分を任意に選べるが、M-バブルリング段階では特定の制約が課される。
• M-バブルリング段階では、逆像が2つの成分に分裂し、その連結和が元の成分に一致するが、他の段階では $ m-n $ 未満のインデックスのハンドル接続が許可される。
• この方法は一般化可能である：生成多面体が次元が $ n $ 未満の閉じた、連結で向き付け可能な多様体のバケツと PL 同相であり、かつそのホモロジーが球面と同型である場合、同じ結果が成り立つ。