[論文レビュー] Constructing homotopy equivalences of chain complexes of free ZG-modules

Lukáš Vokřínek|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非等変なものの上に、G-等変なチェーンホモトピー同値を構成するためのアルゴリズム的手法を提示する。これは、π が有限生成 ZG-加群であるとき、Eilenberg-MacLane 空間 K(π, n) の等変 (co)ホモロジーを効果的に計算可能にする。このアプローチは、G∞-構造と、摂動されたバーバリエーションを用いたコフレーム置換を用い、自由な基底をもつ非負に次数づけられた微分付き代数に一般化される。

ABSTRACT

We describe a general method for algorithmic construction of G-equivariant chain homotopy equivalences from non-equivariant ones. As a consequence, we obtain an algorithm for computing equivariant (co)homology of Eilenberg-MacLane spaces K(pi,n), where pi is a finitely generated ZG-module. This result will be used in a forthcoming paper to construct equivariant Postnikov towers of simply connected spaces with free actions of a finite group G and further to compute stable equivariant homotopy classes of maps between such spaces. The methods of this paper work for modules over any non-negatively graded differential graded algebra, whose underlying graded abelian group is free with 1 as one of the generators.

研究の動機と目的

• 非等変なものの上に、G-等変なチェーンホモトピー同値を構成するためのアルゴリズム的手法を開発すること。
• π が有限生成 ZG-加群であるとき、Eilenberg-MacLane 空間 K(π, n) の等変 (co)ホモロジーをアルゴリズム的に計算可能にするためのもの。
• 有限群 G が単連結空間に自由に作用する場合に、有効なホモロジー代数を等変設定に拡張すること。
• 等変ポストニコフ塔の構築と、写像の安定な等変ホモトピー類の計算のための基盤を提供すること。
• R∞-構造とコフレーム置換を用いて、有効なホモロジー代数の枠組みを等変設定に一般化すること。

提案手法

• G-複体 M と局所有限 Z-複体 N の間の非等変ホモトピー同値から出発する。
• A∞-構造が非等変設定において類似するように、G∞-構造を構築することで、N に「ホモトピーを介した」G-作用を導入する。
• 厳密な G-線形性を緩和する G∞-チェーン写像とホモトピーを定義し、アルゴリズム的処理を可能にする。
• 摂動されたバーバリエーションを用いて、M と N のコフレーム置換 BM と BN を構築し、G∞-写像を厳密化する。
• BM と BN 上で再びホモトピーを構築することで、G-線形ホモトピー同値を再構築する。
• 得られた G-線形同値 BM ≃ BN と、さらに G-線形同値 BM ≃ M を用いて、最終的な G-等変ホモトピー同値を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-複体と局所有限 Z-複体の間の非等変ホモトピー同値を、アルゴリズム的に G-等変ホモトピー同値に昇格させることは可能か？
• RQ2 π が有限生成 ZG-加群であるとき、Eilenberg-MacLane 空間 K(π, n) の等変 (co)ホモロジーをアルゴリズム的に計算可能か？
• RQ3 G∞-構造とコフレーム置換を用いて、有効なホモロジー代数の枠組みを等変設定に拡張することは可能か？
• RQ4 特に多項式時間ホモロジーの文脈において、このような G-等変同値を構築する計算複雑度は何か？
• RQ5 等変還元後の軌道複体 M/G の (co)ホモロジーを計算するために、スミス標準形はどのように応用可能か？

主な発見

• 本稿では、G-複体 M と局所有限 Z-複体の間の任意の非等変ホモトピー同値を、局所有限 G-複体との G-線形ホモトピー同値に変換するアルゴリズム的手法を構築する。
• この手法は、ターゲット複体 N に G∞-構造を導入し、摂動されたバーバリエーションを用いてコフレーム置換 BM と BN を構築することに依存する。
• 得られる G-線形ホモトピー同値 BM ≃ BN はアルゴリズム的であり、入力データが多項式時間で計算可能であれば、その計算性を保つ。
• この構成により、π が有限生成 ZG-加群であるとき、K(π, n) の等変 (co)ホモロジーをアルゴリズム的に計算可能にし、Eilenberg-MacLane の古典的結果を等変設定に一般化する。
• N/G の微分作用素のスミス標準形は多項式時間で計算可能であり、これにより軌道複体 M/G の (co)ホモロジーを効率的に計算可能になる。
• この枠組みは、自由な次数付きアーベル群を基底とし、1 を生成元とする任意の非負に次数づけられた微分付き代数 R に適用可能であり、群代数に限らない。