[論文レビュー] Constructing Kähler-Ricci solitons from Sasaki-Einstein manifolds

Akito Futaki, Mu‐Tao Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Sasaki-Einstein多様体を用いたCalabiのアンザッツを用いて、トーリックFano多様体上のラインバンドルおよびそのKähler錐上で、勾配Kähler-Ricciソリトンを構成する。CaoおよびFeldman-Ilmanen-Knopfの先行研究を一般化し、収縮型および拡張型ソリトンをゼロ切断を除いた全空間上で滑らかに貼り合わせて永遠解を得ることを示し、Sasaki構造が正則である場合にはゼロ切断への滑らかな拡張が可能である。

ABSTRACT

We construct gradient Kähler-Ricci solitons on Ricci-flat Kähler cone manifolds and on line bundles over toric Fano manifolds. Certain shrinking and expanding solitons are pasted together to form eternal solutions of the Ricci flow. The method we employ is the Calabi ansatz over Sasaki-Einstein manifolds, and the results generalize constructions of Cao and Feldman-Ilmanen-Knopf.

研究の動機と目的

• 回転対称でない設定への既知のKähler-Ricciソリトン構成法の拡張を、Sasaki-Einstein多様体を基底構造として行う。
• トーリックFano多様体上のラインバンドルに、Sasaki-Einstein構造を備えた場合に、収縮型および拡張型の勾配Kähler-Ricciソリトンの存在を確立する。
• 特定の収縮型および拡張型ソリトンのペアが、ゼロ切断を除いた全空間上で滑らかに貼り合わされ、Kähler-Ricciフローの永遠解を形成することを示す。
• Sasaki構造が正則である場合に、収縮型ソリトンがゼロ切断に滑らかに拡張される条件を調査する。
• CaoおよびFeldman-Ilmanen-Knopfの結果を一般化し、非対称的で、おそらく不規則なSasaki-Einstein多様体上でのソリトンの構成を可能にする。

提案手法

• Fano多様体上のU(1)バンドルおよびその関連するKähler錐に、Kähler計量をCalabiのアンザッツを用いて構成する。
• アンザッツにより、径方向変数σに関する常微分方程式にKähler-Ricciソリトン方程式を簡約し、関数φ(σ)に関する2階常微分方程式を得る。
• 錐C(S)における勾配スカラーソリトン方程式は、(σ^m φ)'' - μ(σ^m φ)' = mκσ^{m-1} - cσ^m と表され、これがソリトン条件を支配する。
• アンザッツを用いて、特にσ=1近辺での完全性を保証する条件を導出し、φ(1)=φ'(1)=0を要請することで、計量の完全性を確保する。
• 横断的リッチ曲率がRic^T = κg^T（κ<0）を満たすSasaki-Einstein多様体を用い、Kähler錐上に拡張型ソリトンを構成する。
• L^{-k} - Z 上の収縮型ソリトン解と、C(S) 上の拡張型ソリトン解を貼り合わせることで、(L^{-k} - Z) × (-∞, ∞) 上に永遠解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasaki-Einstein構造を用いた場合、トーリックFano多様体上のラインバンドル上で、勾配Kähler-Ricciソリトンをどのような条件下で構成できるか。
• RQ2 L^{-k} - Z 上の収縮型ソリトンがゼロ切断Zに滑らかに拡張される条件は何か。特に、Sasaki-Einstein構造の正則性が果たす役割は何か。
• RQ3 同じ全空間上で、収縮型および拡張型ソリトンを貼り合わせることで、Kähler-Ricciフローの永遠解を構成できるか。
• RQ4 横断的Kähler-Einstein計量を持つSasaki多様体の錐上に、完全な勾配スカラーソリトンが存在するための必要十分条件は何か。
• RQ5 Calabiのアンザッツ枠組みにおいて、μ < 0およびc < 0の選択が、ソリトン解の存在および完全性にどのように影響するか。

主な発見

• 任意のSasaki-Einstein多様体Sに対して、横断的リッチ曲率がRic^T = κg^T（κ < 0）を満たす限り、関連するKähler錐C(S)上に完全な拡張型ソリトンが存在する。
• トーリックFano多様体L^{-k}上のラインバンドルでは、関連するU(1)-バンドルにSasaki-Einstein計量が存在する場合、収縮型および拡張型の勾配Kähler-Ricciソリトンが両方存在する。
• Sasaki-Einstein構造が正則である場合、L^{-k} - Z 上の収縮型ソリトンはゼロ切断Zに滑らかに拡張され、全全空間上で滑らかな永遠解が得られる。
• 収縮型および拡張型ソリトンを貼り合わせて得られる永遠解は、(L^{-k} - Z) × (-∞, ∞) 上に存在するが、Sasaki構造が正則でない限りゼロ切断に特異点を有する。
• CaoおよびFeldman-Ilmanen-Knopfの結果を一般化し、回転対称性の仮定を排除することで、非対称的で、おそらく不規則なSasaki-Einstein多様体上でもソリトンを構成可能である。
• 勾配スカラーソリトン方程式の解は、φ(σ) = -(κ + c/μ)∑_{j=0}^m m! / ((m-j)! μ^{j+1}) σ^{-j} + (c/(μ(m+1)))σ - (c₁/μ)σ^{-m} + c₂e^{μσ}σ^{-m} として明示的に与えられ、定数c₁およびc₂は初期条件φ(1)=φ'(1)=0により決定される。