[論文レビュー] Constructing o-minimal structures with decidable theories using generic families of functions from quasianalytic classes

Daniel Miller|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、擬解析的クラスに属する関数の一般性のある族を用いて、実体のo-極小拡張を構成し、その一階理論が決定可能であることを示している。その理論が決定可能であるための必要十分条件は、関数が有効的に $ C^\infty $ であること、すなわちその導関数が有効的に近似可能であることであると証明しており、一般性のある有効的に $ C^\infty $ な族が位相的に豊富に存在することも示している。

ABSTRACT

Let $\RR_S$ denote the expansion of the real ordered field by a family of real-valued functions $S$, where each function in $S$ is defined on a compact box and is a member of some quasianalytic class which is closed under the operations of function composition, division by variables, and extraction of implicitly defined functions. It is shown that if the family $S$ is generic (which is a certain technically defined transcendence condition), then the theory of $\RR_S$ is decidable if and only if $S$ is computably $C^\infty$ (which means that all the partial derivatives of the functions in $S$ may be effectively approximated). It is also shown that, in a certain topological sense, many generic, computably $C^\infty$ families $S$ exist.

研究の動機と目的

• 実体のo-極小拡張で、一階理論が決定可能であり、超越関数を定義するものが存在するかどうかというタルスキの未解決問題に答えること。
• 実体の拡張が擬解析的関数族によって与えられる場合、その一階理論が決定可能となる条件を確立すること。
• 一般性と有効的 $ C^\infty $-性が、決定可能性を満たす十分条件であることを示し、このような構造に対して構成的枠組みを提供すること。
• 位相的に、多くの一般性のある有効的 $ C^\infty $ な族が存在することを示し、決定可能o-極小構造のクラスに豊かさがあることを示すこと。

提案手法

• 合成、変数による除法、陰関数の抽出に関して閉じた擬解析的IFシステム $ \mathcal{C} $ を用いる。
• 計算可能集合 $ \Sigma $ でインデックス付けられた関数族 $ \mathcal{S} $ を定義し、ドメイン写像 $ \rho $ とアリティ写像 $ \eta $ を持つ。各 $ S_\sigma \in \mathcal{C}_{\rho(\sigma)} $ である。
• 実順序体に、各関数のコンパクトな定義域外でゼロとなるような区分的拡張 $ \widehat{S}_\sigma $ を加えることで、構造 $ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ を構成する。
• 関数が予期しない代数的依存関係を満たさないことを保証する超越的条件として「一般性のある族」の概念を導入する。
• 先行研究の特徴づけに依拠する：$ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ の決定可能性は、近似オラクルと精度オラクルの両方の決定可能性と同値である。
• 一般性のある $ \mathcal{S} $ に対して、近似オラクルが決定可能ならば精度オラクルも決定可能であることを証明し、$ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ の決定可能性を有効的 $ C^\infty $-性に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実体のo-極小拡張で、一階理論が決定可能であり、超越関数を定義するものが存在するか？
• RQ2 実体の拡張 $ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ が擬解析的関数族によって与えられるとき、その理論が決定可能となる条件は何か？
• RQ3 一般性のある擬解析的関数族が、同時に有効的 $ C^\infty $ であり、その族の空間において位相的に稠密であるとは言えるか？
• RQ4 近似オラクルが決定可能であるとき、一般性のある $ \mathcal{S} $ に対して精度オラクルは決定可能か？
• RQ5 導関数の有効的近似と一般性が、一階理論の決定可能性を同時に保証できるか？

主な発見

• 構造 $ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ の理論が決定可能であるのは、$ \mathcal{S} $ が有効的に $ C^\infty $ であるとき、かつそのときに限る。これは、$ \mathcal{S} $ に属する関数のすべての偏導関数が任意の精度で有効的に近似可能であることを意味する。
• 任意の一般性のある族 $ \mathcal{S} $ に対して、近似オラクルが決定可能ならば精度オラクルも決定可能であり、このことにより $ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ の決定可能性は導関数の近似の計算可能性に帰着される。
• 非可算個の一般性のある有効的 $ C^\infty $ な族 $ \mathcal{S} $ が存在し、それらは適切な位相において $ G_\delta $ 稠密集合をなしており、その豊富さを示している。
• 構成法により、$ \mathbb{R}_{\mathcal{S}} $ はo-極小であることが保証され、定義可能な集合の「なめらかさ」を保ちつつ、超越関数を許容する。
• 証明は、有効的陰関数定理と関数族のパラメータ依存の連続性に依拠しており、一般性と計算可能性を維持するため、定義域の有効的縮小が行われる。
• 本結果によりタルスキの問いに肯定的な答えが得られる：実体のo-極小拡張で、理論が決定可能であり、超越関数を定義するものが存在する。