[論文レビュー] Construction of Forward Performance Processes in Stochastic Factor Models and an Extension of Widder's Theorem

Levon Avanesyan, Mykhaylo Shkolnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、株式要因相関行列の固有値等価（EVE）構造のもとで、不完全な確率的因子モデルにおいて、パワーユーティリティの初期データを用いて、時間の逆方向に不適切な放物型PDEを解くことにより、前向きパフォーマンス過程を構築する。主な貢献は、正の固有関数に対する一般化されたウィダーテーレムの定理とラプラス逆変換による明示的解法であり、リッカティ常微分方程式を用いたアフィン因子モデルにおける時不変の最適ポートフォリオを可能にする。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal portfolio selection under forward investment performance criteria in an incomplete market. Given multiple traded assets, the prices of which depend on multiple observable stochastic factors, we construct a large class of forward performance processes with power-utility initial data, as well as the corresponding optimal portfolios. This is done by solving the associated non-linear parabolic partial differential equations (PDEs) posed in the "wrong" time direction, for stock-factor correlation matrices with eigenvalue equality (EVE) structure, which we introduce here. Along the way we establish on domains an explicit form of the generalized Widder's theorem of Nadtochiy and Tehranchi [NT15, Theorem 3.12] and rely hereby on the Laplace inversion in time of the solutions to suitable linear parabolic PDEs posed in the "right" time direction.

研究の動機と目的

• 古典的なマーケット・ポートフォリオ最適化の時間不変性を解消するため、変化する市場状況に適応する前向きパフォーマンス過程（FPP）を導入すること。
• 複数の確率的因子によって駆動される不完全市場において、パワーユーティリティの初期データを有する広範なFPPのクラスを構築すること。
• ラプラス逆変換の新技術を用いて、時間の逆方向に不適切なハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）PDEを解くこと。
• 領域上での正の固有関数に対する一般化されたウィダーテーレムの定理を確立し、既存の文献における結果を拡張すること。
• EVE仮定の下で、アフィン因子モデルにおけるリッカティ常微分方程式を用いて明示的解を提供すること。

提案手法

• 株式要因相関行列に固有値等価（EVE）構造を導入することで、前向きHJB PDEの可解性を可能にする。
• 時間の正しい方向に定式化された線形放物型PDEの解に対してラプラス逆変換を適用し、不適切な前向きPDEの解を構築する。
• 指数型アフィンアンサッツ $ u(t,y) = \exp(\Phi(t)^T y + \Theta(t)) $ を用いて、HJB PDEをリッカティ常微分方程式の系に簡約する。
• リッカティ常微分方程式の系を導出：$ \dot{\Phi}_i + \frac{1}{2}L_i \Phi_i^2 + \sum_j (M+N)_{ij} \Phi_j + \frac{\Gamma}{2q} \Lambda_i = 0 $、ただし $ \dot{\Theta} $ は $ \Phi $ によって決定される。
• 一般化されたウィダーテーレムの定理を用いて、前向きパフォーマンス過程の文脈における正の固有関数を特徴付ける。
• 非負の因子を有するアフィン因子モデルにおいて、HJB方程式が係数がアフィンである線形放物型PDEに簡約されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不完全な確率的因子モデルにおいて、パワーユーティリティの初期データを有する前向きパフォーマンス過程を体系的に構築できるか？
• RQ2 株式要因相関行列にどのような構造的条件が課されると、不適切な前向きHJB PDEが解けるか？
• RQ3 一般化されたウィダーテーレムの定理を領域に拡張することで、この文脈における正の固有関数を特徴付けるにはどうすればよいか？
• RQ4 EVE仮定の下で、リッカティ常微分方程式を用いてアフィン因子モデルにおける明示的解を導出できるか？
• RQ5 提案手法は、投資期間の変更に対しても最適なまま保たれる時間不変の最適ポートフォリオをもたらすか？

主な発見

• 株式要因相関行列に固有値等価（EVE）構造を課することにより、パワーユーティリティの初期データを有する前向きパフォーマンス過程の構築が可能になる。
• 一般化されたウィダーテーレムの定理が領域に拡張され、ラプラス逆変換を用いた正の固有関数の特徴付けが得られる。
• 不適切な前向きHJB PDEの解は、時間の正しい方向に定式化された線形放物型PDEの解のラプラス逆変換によって構築される。
• アフィン因子モデルでは、HJB方程式がリッカティ常微分方程式の系に簡約され、$ M $ および $ N $ が対角行列である場合に明示的に解ける。
• 各因子について、解 $ \Phi_i(t) = \frac{z_{+,i} - \chi_i z_{-,i} e^{-\sqrt{D_i}t}}{1 - \chi_i e^{-\sqrt{D_i}t}} $ が導出され、ここで $ D_i = (M_{ii}+N_{ii})^2 - L_i \frac{\Gamma}{q} \Lambda_i $ である。
• 最適ポートフォリオは時間に一貫しており、$[0,T_2]$ における前向き戦略を $[0,T_1]$ に制限すると、$[0,T_1]$ における最適戦略が得られる。