[論文レビュー] Construction of Fuzzy Spaces and Their Applications to Matrix Models

Yasuhiro Abe|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、幾何的量子化と代数的制約を用いて、特にファジー $\mathbb{CP}^k$、$S^4$、$S^8$ のファジー版を構築し、重力の行列モデルおよびM(atrix)理論に応用する。ファジー $S^4$ をファジー $\mathbb{CP}^3$ 内のブロック対角行列として実現することにより、横方向がファジー $S^4$ で記述される新しいM(atrix)理論のブレイン解が可能となり、M-理論の現実的で4次元の行列モデルが提案される。

ABSTRACT

Quantization of spacetime by means of finite dimensional matrices is the basic idea of fuzzy spaces. There remains an issue of quantizing time, however, the idea is simple and it provides an interesting interplay of various ideas in mathematics and physics. Shedding some light on such an interplay is the main theme of this dissertation. The dissertation roughly separates into two parts. In the first part, we consider a mathematical aspect of fuzzy spaces, namely, their construction. We begin with a review of the construction of fuzzy complex projective spaces CP^k (k=1,2,...) in relation to geometric quantization. We then present the construction of fuzzy S^4, utilizing the fact that CP^3 is an S^2 bundle over S^4. This method is also applicable to the case of fuzzy S^8. In the second part, we consider applications of fuzzy spaces to physics. We first consider gravitational theories on fuzzy spaces, anticipating that they may offer a novel way of regularizing spacetime dynamics. Particularly we obtain actions for gravity on fuzzy S^2 and fuzzy CP^2. We also discuss application to M(atrix) theory. Introducing extra potentials, we show that the theory has new brane solutions whose transverse directions are described by fuzzy S^4 and fuzzy CP^3. The extra potentials can be interpreted as fuzzy versions of differential forms or fluxes, which enable us to discuss compactification models of M(atrix) theory. Compactification down to fuzzy S^4 is discussed and a physically interesting matrix model in four-dimensions is proposed.

研究の動機と目的

• ファジー空間、たとえば $\\mathbb{CP}^k$、$S^4$、$S^8$ の体系的構築法を、幾何的量子化と代数的制約を用いて開発すること。
• ファジー $S^4$ および $S^8$ に対して、行列関数対応を提供し、閉じたかつ結合的代数を保証すること。
• 時空力学の正則化のため、ファジー $S^2$ および $\mathbb{CP}^2$ 上の有限次元行列モデルを重力のためのものとして構築すること。
• M(atrix)理論を拡張し、追加のポテンシャルを導入することで、横方向がファジー $S^4$ および $\mathbb{CP}^3$ 上にあるブレイン解を生み出すこと。
• ファジー $S^4$ の幾何と行列値微分形式を用いて、M(atrix)理論を4次元にコンパクト化する手法を提案すること。

提案手法

• 幾何的量子化を用いてファジー $\mathbb{CP}^k$ を構築し、ホロモーフィック切断のヒルベルト空間を用い、記号とスター積を定義する。
• ファジー $\mathbb{CP}^3$ に代数的制約を課すことによりファジー $S^4$ を得る。これは、ファイブレーション $S^2 \to \mathbb{CP}^3 \to S^4$ を利用する。
• ファジー $\mathbb{CP}^3$ 行列代数に埋め込まれたブロック対角行列として、ファジー $S^4$ 上の座標を表現する。
• 切断された関数の数え上げと、行列作用素への一対一写像を通じて、ファジー $S^4$ の行列関数対応を確立する。
• 有限次元行列のトレースとラプラシアン作用素を用いて、ファジー $S^2$ および $\mathbb{CP}^2$ 上の重力の作用を構築する。
• M(atrix)理論に追加のポテンシャルを導入し、微分形式 ($F_{2r+1}$) のファジー版として解釈することで、ファジー $S^4$ の横方向幾何を持つL5ブレイン解の出現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的制約を用いて、$\mathbb{CP}^3$ からファジー $S^4$ を体系的にどのように構築できるか。
• RQ2 ファジー $S^4$ の正確な行列関数対応は何か。また、それが閉じた代数を保証する仕組みは何か。
• RQ3 有限次元行列を用いて、ファジー $S^2$ および $\mathbb{CP}^2$ 上に重力の行列モデルをどのように構築できるか。
• RQ4 M(atrix)理論における追加のポテンシャルは、どのようにして横方向がファジー $S^4$ 上にあるブレイン解を生み出すか。
• RQ5 ファジー $S^4$ 上のコンパクト化を用いて、現実的で4次元のM-理論の行列モデルを構築できるか。

主な発見

• ファジー $S^4$ は、ファジー $\mathbb{CP}^3$ 内のブロック対角行列代数として構築され、座標は追加の代数的制約によって実現される。
• ファジー $S^4$ の行列関数対応は、複数の数え上げ法を通じて確立され、一対一写像と閉じた結合的代数が確認された。
• ファジー $S^2$ 上の重力の作用は、有限次元行列の言語で導出され、$N \to \infty$ の可換な大 $N$ 限界が明確に定義された。
• ファジー $S^8$ は、同様の方法で、ファイブレーション $\mathbb{CP}^3 \to \mathbb{CP}^7 \to S^8$ を用いて構築された。
• M(atrix)理論における追加のポテンシャルは、ファジー微分形式として解釈され、横方向がファジー $S^4$ 上にある新しいL5ブレイン解を生み出す。
• ファジー $S^4$ の局所座標 (5.90) を用いて記述される作用 (5.95) を持つ、4次元M-理論の行列モデルの候補が提案された。