[論文レビュー] Construction of Non-asymptotic Confidence Sets in 2-Wasserstein Space

Johannes Ebert, Vladimir Spokoiny+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、2-ワサーラインンスペース内における経験的ワサーライン中央値の周囲の信頼集合を構築する非漸近的ブートストラップ法を提案する。この手法は、位置スケール族に属する確率測度で共役する分散共分散行列を持つ場合に焦点を当てている。アプローチは、乗数ブートストラップを用いて、有限標本保証のもとで有効な推論および仮説検定（変化点検出を含む）を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we consider a probabilistic setting where the probability measures are considered to be random objects. We propose a procedure of construction non-asymptotic confidence sets for empirical barycenters in 2-Wasserstein space and develop the idea further to construction of a non-parametric two-sample test that is then applied to the detection of structural breaks in data with complex geometry. Both procedures mainly rely on the idea of multiplier bootstrap (Spokoiny and Zhilova (2015), Chernozhukov et al. (2014)). The main focus lies on probability measures that have commuting covariance matrices and belong to the same scatter-location family: we proof the validity of a bootstrap procedure that allows to compute confidence sets and critical values for a Wasserstein-based two-sample test.

研究の動機と目的

• 漸近的近似を避けて、2-ワサーラインスパイス内における経験的ワサーライン中央値の有限標本信頼集合を構築すること。
• ワサーライン距離に基づく非パラメトリック2標本検定における臨界値を構築するための有効なブートストラップ手順を確立すること。
• ワサーラインに基づく推論を用いて、複雑な幾何的構造を持つデータにおける構造的変化の検出を可能にすること。
• 位置スケール族内での共役分散共分散行列の仮定の下で、ブートストラップの理論的妥当性を保証すること。
• 形状解析や画像処理などの非ユークリッド的で多様体的構造を持つデータ設定に適用可能な、中央値に関する推論フレームワークを提供すること。

提案手法

• Chernozhukov, Chetverikov, and Kato (2013) および Spokoiny and Zhilova (2015) が開発した乗数ブートストラップ手順を、高次元推論に用いる。
• 共役分散共分散行列の仮定の下で、経験的ワサーライン中央値にブートストラップを適用し、非漸近的信頼集合を構築する。
• ガウス近似と反濃度不等式を用いて、高次元設定におけるブートストラップ誤差を制御する。
• 行列ベルンシュタイン不等式を用いて、経験的分散共分散行列の偏差の作用素ノルムをバインドする。
• モーメント条件の下で、経験的2次形式の偏差に対する指数的尾部バインドを導出し、濃縮性を保証する。
• 2つの経験的中央値間の2-ワサーライン距離に基づく2標本検定統計量を構築し、臨界値はブートストラップにより得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限標本条件下で、2-ワサーラインスパイス内における経験的ワサーライン中央値の非漸近的信頼集合を構築できるか？
• RQ2 基礎となる確率測度が共役分散共分散行列を持つ場合に、乗数ブートストラップがワサーライン中央値の推論に対して有効であるか？
• RQ3 提案されたブートストラップ手順を、複雑な幾何的構造を持つデータにおける構造的変化の検出に拡張可能か？
• RQ4 2-ワサーライン中央値の文脈において、ブートストラップに基づく2標本検定の有限標本特性は何か？
• RQ5 共役分散共分散行列および位置スケール族の仮定が、ブートストラップ推論の妥当性と正確性に与える影響は何か？

主な発見

• 基礎となる確率測度が共役分散共分散行列を持つ場合に、ワサーライン中央値の周囲の信頼集合を構築するブートストラップ手順が有効であることが証明された。
• 近い共分散構造を持つ2つの多変量正規分布間のカルバック・ライブラー距離に上界を確立し、KL距離が変換された共分散行列の差の半分のフロベニウスノルムの二乗で有界であることを示した。
• 行列ベルンシュタイン不等式を適用し、経験的分散共分散行列の偏差の作用素ノルムを制御した。その結果、高確率バインド $\mathbb{P}(\|Z\|_{\text{op}} \geq \mathtt{C}\mathtt{x}/\sqrt{n}) \leq 2\exp\bigl(-(\mathtt{x}-6L\log(d))/6L\bigr{)}$ が得られた。
• 指数的尾部バインドにより、経験的2次形式の偏差が適切に制御され、尾部の減衰は分散およびサブガウス尾部パラメータに依存する。
• 共分散行列比の固有値に関する条件の下で、ブートストラップの理論的妥当性が確立された。具体的には、$\|\Sigma_2^{-1/2}\Sigma_1\Sigma_2^{-1/2} - I_d\| \leq 1/2$ および $\operatorname{tr}((\Sigma_2^{-1/2}\Sigma_1\Sigma_2^{-1/2} - I_d)^2) \leq \rho_\Sigma^2/2$ が成り立つ。
• コンパクトにサポートされた確率的ベクトルを有する高次元設定において、非漸近的推論が可能であることが、カバレッジ確率および変化点検出のシミュレーションおよび実データ実験を通じて示された。