[論文レビュー] Construction of type ${ m II_1}$ factors with prescribed countable fundamental group

Cyril Houdayer|ArXiv.org|Apr 26, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自由確率論とPopaの変形／剛性理論に根ざした2つの新しい手法を用いて、任意に指定された可算な基本群をもつ型$\mathrm{II_1}$因子を構成する。まず、$w$-剛性群（例：$\mathbf{Z}^2 \rtimes \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$）のs-可塑的かつ自由に混合する作用を、自由Araki-Woods因子に適用し、その交叉積因子の基本群を任意の与えられた$\mathbf{R}^*_+$の可算部分群に一致させる。第二に、型I因子との自由積を用いた構成により、基本群が状態の点スペクトルによって決定される因子を構成する。主な貢献は、任意の可算基本群を型$\mathrm{II_1}$因子として明示的に実現することにある。

ABSTRACT

In the context of Free Probability Theory, we study two different constructions that provide new examples of factors of type ${ m II_1}$ with prescribed fundamental group. First we investigate state-preserving group actions on the almost periodic free Araki-Woods factors satisfying both a condition of mixing and a condition of free malleability in the sense of Popa. Typical examples are given by the free Bogoliubov shifts. Take an ICC $w$-rigid group $G$ such that $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$ (e.g. $G = \Z^2 times \SL(2, \Z)$). For any countable subgroup $S \subset \R^*_+$, we show that there exists an action of $G$ on $L(\F_\infty)$ such that $L(\F_\infty) times G$ is a type ${ m II_1}$ factor and its fundamental group is $S$. The second construction is based on a free product. Take $(B(H), ψ)$ any factor of type ${ m I}$ endowed with a faithful normal state and denote by $Γ\subset \R^*_+$ the subgroup generated by the point spectrum of $ψ$. We show that the centralizer $(L(G) \ast B(H))^{τ\ast ψ}$ is a type ${ m II_1}$ factor and its fundamental group is $Γ$. Our proofs rely on Popa's deformation/rigidity strategy using his intertwining-by-bimodules technique.

研究の動機と目的

• 任意に指定された可算部分群$S \subset \mathbf{R}^*_+$に等しい基本群をもつ型$\mathrm{II_1}$因子を構成すること。
• s-可塑的かつ自由に混合する作用を用いて、自由Araki-Woods因子に作用する$w$-剛性群を用い、自由確率論の文脈に拡張したPopaの変形／剛性戦略を展開すること。
• 交叉積と自由積の2つの異なる構成法を提供し、それぞれが所望の基本群をもつ因子を生じることを示すこと。
• 自由積構成において、型$\mathrm{II_1}$因子の基本群が型I因子上の状態の点スペクトルに等しくなることを示すこと。

提案手法

• s-可塑的かつ自由に混合する作用を、ほぼ周期的自由Araki-Woods因子に作用させる。これにPopaのbimoduleによる埋め込み技術を適用する。
• 可塑性と$w$-剛性群の相対的$(T)$性質を組み合わせることで、変形／剛性戦略を適用する。
• 基本群が$S$に一致するように保証される、$L(\mathbf{F}_\infty) \rtimes G$の形の交叉積を構成する。ここで$G$は$\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$を満たす$w$-剛性群である。
• 型I因子$(B(H), \psi)$と群因子$L(G)$を用いた自由積構成において、中心化子$(L(G) * B(H))^{\tau * \psi}$の基本群が、$\psi$の点スペクトルによって生成される部分群$S \subset \mathbf{R}^*_+$に一致することを示す。
• von Neumann代数のモジュラー理論を用い、モジュラー作用素$\Delta_\varphi$、モジュラー共役作用素$J_\varphi$、および代数に付随する作用素の極分解を扱う。
• GNS構成における内積を用いて定義される作用素$T_\xi$の閉包性および$\mathcal{M}$-付随性を、スペクトル性質とモジュラー自己同型群との可換性を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に指定された可算な基本群をもつ型$\mathrm{II_1}$因子を構成することは可能か？
• RQ2 自由Araki-Woods因子へのs-可塑的かつ自由に混合する作用を用いて、任意の基本群を実現することは可能か？
• RQ3 状態の点スペクトルが、自由積von Neumann代数の基本群を決定する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ4 自由積をテンソル積の代わりに用いることで、変形／剛性戦略を自由確率論の文脈に適応することは可能か？
• RQ5 自由積の中心化子が、状態の点スペクトルから生成される基本群構造をどのように継承するか？

主な発見

• 任意の可算部分群$S \subset \mathbf{R}^*_+$に対して、基本群$\mathcal{F}(M) = S$をもつ型$\mathrm{II_1}$因子$M$が存在する。
• $G = \mathbf{Z}^2 \rtimes \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$が$\mathbf{F}_\infty$にs-可塑的かつ自由に混合する作用を施すとき、交叉積$L(\mathbf{F}_\infty) \rtimes G$は、基本群が$S$に一致する因子を生成する。
• 点スペクトルが$\psi$によって生成される部分群$S \subset \mathbf{R}^*_+$に一致するように、$w$-剛性群因子と型I因子の自由積の中心化子$(L(G) * B(H))^{\tau * \psi}$は、型$\mathrm{II_1}$因子であり、その基本群は$S$に一致する。
• GNS構成により定義される作用素$T_\xi$は閉作用素であり、von Neumann代数$\mathcal{M}$に付随しており、その極分解の部分$v$は$\mathcal{M}^\gamma$に属する（$\gamma$は$\mathcal{M}$のスペクトルに属する）。
• モジュラー自己同型群$\sigma_t^\varphi$は、$T_\xi$のユニタリ部$v$に対して$\sigma_t^\varphi(v) = \gamma^{it}v$を満たす。これにより$v \in \mathcal{M}^\gamma$であることが確認される。
• 代数$B$の$\mathcal{M}^\varphi$における直交補空間が$v$と可換であるため、$B$が$\xi$と可換であれば$v$は$B$の直交補空間に属する。