[論文レビュー] Construction of warped time-frequency representations on nonuniform frequency scales, Part II: Integral transforms, function spaces, atomic decompositions and Banach frames

Nicki Holighaus, Christoph Wiesmeyr+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、プロトタイプ関数を周波数モodulation、時間遅延、非線形歪み変換によって得られる歪み時間周波数原素を用いた連続的線形時間周波数変換の族を導入する。可逆性、連続性、一般化された共軌道空間構造を確立し、弱い条件下で、サブサンプリングされたシステムに対して原子的分解とバナッハフレームを証明する。短時間フーリエ変換やウェーブレット変換といった古典的変換が特殊ケースとして回復される。

ABSTRACT

We present a novel family of continuous linear time-frequency transforms adapted to a multitude of (nonlinear) frequency scales. Similar to classical time-frequency or time-scale representations, the representation coefficients are obtained as inner products with the elements of a continuously indexed family of time-frequency atoms. These atoms are obtained from a single prototype function, by means of modulation, translation and warping. By warping we refer to the process of nonlinear evaluation according to a bijective, increasing function, the warping function. Besides showing that the resulting integral transforms fulfill certain basic, but essential properties, such as continuity and invertibility, we will show that a large subclass of warping functions gives rise to families of generalized coorbit spaces, i.e. Banach spaces of functions whose representations possess a certain localization. Furthermore, we obtain sufficient conditions for subsampled warped time-frequency systems to form atomic decompositions and Banach frames. To this end, we extend results previously presented by Fornasier and Rauhut to a larger class of function systems via a simple, but crucial modification. The proposed method allows for great flexibility, but by choosing particular warping functions we also recover classical time-frequency representations, e.g. $F(t) = ct$ provides the short-time Fourier transform and $F(t)=\log_a(t)$ provides wavelet transforms. This is illustrated by a number of examples provided in the manuscript.

研究の動機と目的

• 非線形周波数スケールに適応した柔軟な連続的時間周波数変換の族の開発を目的とする。
• 提案された積分変換の可逆性と連続性の理論的基盤を確立すること。
• 変換に関連する関数空間（一般化された共軌道空間）を特徴付けること。
• サブサンプリングされた歪みシステムが原子的分解とバナッハフレームを形成するための十分条件を導出すること。
• 適切な歪み関数を用いることで、古典的時間周波数表現を一つの枠組みに統一すること。

提案手法

• 単一のプロトタイプ関数に周波数モodulation、時間遅延、歪み（双射かつ単調増加関数を用いて）を適用し、時間周波数原素を構築する。
• 信号とこれらの歪み原素との内積として積分変換を定義し、表現係数を導出する。
• FornasierとRauhutのフレームワークの修正版を用い、歪みシステムへの原子的分解およびバナッハフレームの結果を拡張する。
• 関数解析的道具を用いて、連続性と可逆性の観点から得られた変換を分析する。
• 歪み関数に弱い条件下で、関連関数空間を一般化された共軌道空間として特徴付ける。
• 特定の歪み関数が既知の変換を回復することを示す：線形歪みは短時間フーリエ変換を、対数歪みはウェーブレット変換を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪み変換を用いて、非一様かつ非線形な周波数スケールに一般化された時間周波数表現はどのように達成できるか？
• RQ2 歪み時間周波数システムがどのような条件下で原子的分解とバナッハフレームを形成するか？
• RQ3 提案された歪み積分変換に関連する自然な関数空間は何か？
• RQ4 提案された変換は、短時間フーリエ変換やウェーブレット変換といった古典的時間周波数表現とどのように関係するか？
• RQ5 歪み変換が満たす構造的性質（連続性、可逆性など）は何か？

主な発見

• 提案された歪み時間周波数変換は、広範な歪み関数のクラスに対して連続的かつ可逆的である。
• 歪み関数の大きな部分集合が一般化された共軌道空間を生じさせ、局在化された表現を持つ関数を特徴付ける。
• サブサンプリングされた歪みシステムが原子的分解とバナッハフレームを形成するための十分条件が確立され、従来の結果がより広いクラスのシステムに拡張された。
• 歪み関数が線形（F(t) = ct）である場合、短時間フーリエ変換が回復される。
• 歪み関数が対数的（F(t) = log_a(t)）である場合、連続ウェーブレット変換が回復される。
• 本手法は、非線形周波数スケーリングを通じて、古典的時間周波数表現を統一的に一般化する理論的枠組みを提供する。