[論文レビュー] Constructions of contact forms on products and piecewise fibered manifolds

Bogus Law Hajduk, Rafa L Walczak|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、凸型の強いシンプレクティック折り畝の概念を導入することで、閉多様体および部分的にファイバー化された多様体の上に接触形式を構成する。もし多様体 $M$ がこのような構造を備えており、$X$ が接触的であるならば、$M \times X$ は接触形式を有する。これは自然な条件下でファイブレーションへと拡張され、バンドルおよび球面との積に対し新たな接触構造をもたらし、fillable および surgery への応用をもたらす。

ABSTRACT

We study constructions of contact forms on closed manifolds. A notion of strong symplectic fold structure is defined and we prove that there is a contact form on $M \x X$ provided that $M$ admits such a structure and $X$ is contact. This result is extended to fibrations satisfying certain natural conditions. Some examples and applications are given.

研究の動機と目的

• 閉多様体 $M$ と接触的多様体 $X$ の積 $M \times X$ に接触形式が存在するための十分条件を確立すること。
• Geiges-Stipsicz の $M \times S^1$ における接触形式の公式を、高次元の積およびファイブレーションへ一般化すること。
• 特に凸型および凹型の強いシンプレクティック折り畝が、ファイバー多様体上での接触構造の構成にどのように利用できるかを調査すること。
• 接触トポロジーにおける応用、特にfillable および手術、吹き出し（blow-ups）を検討し、特定の fillable に関する障害が $S^1$ との積を取ることで消えるかどうかを示すこと。
• 分解された多様体上での局所的接触形式の構成法を開発し、接触構造を支持する新たなクラスの部分的ファイバー多様体を導くこと。

提案手法

• 凸型の強いシンプレクティック折り畝の概念を導入：多様体 $M = W_- \cup_N W_+$ で、$\omega_\pm = d\gamma_\pm$ となる正確なシンプレクティック形式 $\omega_\pm$ が、超曲面 $N$ の近傍で凸性条件を満たす。
• Giroux-Mohsen の定理を適用し、任意の接触形式をオープンブック分解から生じる形式に変形する。
• Altschuler-Wu の熱流変形を用いて、共形形式（confoliation）を接触形式に変形し、オープンブック構造を活用する。
• オープンブック分解と $X$ 上の接触形式を用いて $M \times X$ 上に共形形式を構成し、熱流による変形で真の接触形式に変換する。
• 構造群が接触構造を保つ条件を満たす場合に、接触纤维を持つ $M$ 上のファイバー束に対してもこの構成を拡張する。
• 具体的な例（奇数次元球面や同次空間との積）にこの方法を適用し、Mathematica を用いた低次元での明示的計算により接触性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉多様体 $M$ と接触的多様体 $X$ の積 $M \times X$ が接触形式をもつための条件は何か？
• RQ2 $M \times S^1$ における接触形式の構成を、複数の球面や高ランクトーラスとの積へ一般化できるか？
• RQ3 $M$ に凹型の強いシンプレクティック折り畝が存在する場合でも、$M \times X$ 上に接触形式を構成できるか？
• RQ4 シンプレクティック fillable に関する障害は、$S^1$ との積を取ることで解消可能か？もしそうなら、接触形式にどのような条件が必要か？
• RQ5 強いシンプレクティック折り畝を持つ多様体上に、接触構造をもつファイバー束の総体空間が存在するクラスは何か？

主な発見

• 多様体 $M$ が凸型の強いシンプレクティック折り畝を備えており、$X$ が接触的多様体であるならば、$M \times X$ は接触形式を有する。
• 接触的多様体 $X$ に対して、$X \times S^{k_1} \times \cdots \times S^{k_r}$ は、$k_1 + \cdots + k_r$ が偶数であれば接触的である。
• 接触的型の強いシンプレクティック折り畝を持つ多様体 $M$ に対して、$M \times S^{k_1} \times \cdots \times S^{k_r}$ は、$k_1 + \cdots + k_r$ が奇数であれば接触的である。
• 特に $X = S^{2n+1}$ の場合、ある接触形式 $\lambda$ に対して、$e^t\lambda + d\phi$ の形の積形式は、$W \times S^1$ 上に接触形式に拡張可能である。$n=1$ のときオーバーミスド形式に対しても同様であり、$S^1$-積が fillable に関する障害を除去できることを示している。
• この構成は局所的であり、部分的ファイバー多様体へ一般化可能であり、適合する折り畝を持つシンプレクティックコボルディズムの断片に分解された多様体に対しても接触構造を構成可能である。
• 次元 9 における明示的計算により、構成された形式 $\tau$ のリーブ場が正しく定義されており、特異集合を除いて半径方向に対して横断的であることが確認され、接触条件が成立していることが検証された。