[論文レビュー] Constructions of nontautological classes on moduli spaces of curves

T.M. Graber, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Apr 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、奇数コホロロジーと境界ストラトゥムの相互作用を用いて、タウトロジカルでない明示的な代数的サイクルを曲線のモジュライ空間上に構成する。グルーピング写像を介したコホロロジー類の引き戻しを分析し、クンネット分解基準を適用することで、特に genus-2 のバイエルプティック・ローカスと境界除算子内の対角線を含む特定の局所が非タウトロジカルであることを証明し、Q 上での非タウトロジカル類の存在について長年の疑問を解決する。

ABSTRACT

We construct explicit examples of algebraic cycles in \bar M_g (for large g congruent to 2 mod 4) and in M_2,20 (no bar) which are not in the tautological ring. In an appendix we give a general method for computing intersections in the tautological ring.

研究の動機と目的

• Q 上の曲線のモジュライ空間における非タウトロジカル代数的サイクルが存在するかどうかという未解決の問いを解消すること。
• 代数的サイクルがタウトロジカルコホロロジー環 RH^{*}(M_{g,n}) に含まれないコホロロジー的像を有するかどうかを特定すること。
• 非コンパクト空間 M_{g,n} 上に非タウトロジカルクラスが存在するかどうかを調査すること。
• このようなサイクルの明示的構成を提供し、抽象的存在証明を超えて進める。

提案手法

• クンネット分解に基づく基準の使用：コホロロジー類の積のモジュライ空間への引き戻しがタウトロジカルでなければ、元の類は非タウトロジカルである。
• 境界除数上の類を関連付けるために、グルーピング写像 ι: M_{g₁,n₁∪{*}} × M_{g₂,n₂∪{•}} → M_{g₁+g₂,n₁+n₂} を適用する。
• ピカールとゲッツラーによる結果に従い、M_{1,11} および h が奇数で十分に大きな h に対して M_{h,1} の奇数コホロロジーを活用し、非タウトロジカルな振る舞いを検出する。
• M_{2,20} における10個の互いに素な互換の積によって誘導される対合の固定点集合を分析し、codimension-1 の局所を構成する。
• 特に ψ および κ クラスに対して、ストラトゥム写像におけるタウトロジカル類の引き戻し公式を用いて、引き戻しにおけるタウトロジカル性を検証する。
• 境界包含における対角線類のプッシュフォワードを適用し、高次元のモジュライ空間における非タウトロジカルな振る舞いを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q 上で定義された非タウトロジカル代数的サイクルは、曲線のモジュライ空間上に存在するか？
• RQ2 代数的サイクルがタウトロジカルコホロロジー環 RH^{*}(M_{g,n}) に含まれないコホロロジー的像を有することができるか？
• RQ3 非コンパクトモジュライ空間 M_{g,n} 上に非タウトロジカルクラスが存在するか？
• RQ4 M_{2,22} の境界除数内の対角線類は非タウトロジカルか？
• RQ5 抽象的存在証明を超えて、非タウトロジカルサイクルの明示的構成が可能か？

主な発見

• 十分に大きな奇数 h に対して、2h の genus を持つ曲線が genus h の曲線へ次数2のマップを持つような局所 Y の類 [Y] は、RH^{*}(M_{2h}) においてタウトロジカルでない。
• 20点付きバイエルプティック曲線の対合による固定点集合の類 [Z] は、RH^{*}(M_{2,20}) に属さず、非タウトロジカル性が証明される。
• ゲッツラーによる M_{1,11} の結果を分析することで、[Z] は内部空間 M_{2,20} 上でも非タウトロジカルのままであることが示される。
• M_{1,12}×M_{1,12} 内の対角線類 Δ の、M_{2,22} への境界写像によるプッシュフォワードは、RH^{*}(M_{2,22}) 内のタウトロジカル類でない。
• 著者らは、Q 上での存在について長年の疑問に答える明示的かつ整数的定義された代数的サイクルを提供し、それらが非タウトロジカルであることを示した。
• 奇数コホロロジーが存在する際のクンネット分解がタウトロジカルでないという事実に依拠し、具体的な検出法を提供する。