[論文レビュー] Constructions of Optimal Cyclic $(r,δ)$ Locally Repairable Codes

Bin Chen, Shu‐Tao Xia+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$q-1$ および $q+1$ を割る長さの $q$-元巡回 $(r,\delta)$ 局所修復可能コード（LRC）を最適に構築する。先行研究の $r$-局所 LRC に一般化し、リード＝ソロモン符号およびベルレクランプ＝ジャスティセン符号の零点構造を活用することで、Singletonに類似した境界に達する新しい構成法を提示する。$n \mid q+1$ および $δ \geq 2$ の明示的なパラメータ集合が得られ、$d > 4$ の場合に最良のパラメータを達成する長さ $q+1$ のコードも含む。主な貢献は、$n \mid q-1$ の場合に限らない最適な巡回 LRC を体系的に構築する方法の確立であり、効率的な分散ストレージのための既知のパラメータ空間を拡張する。

ABSTRACT

A code is said to be a $r$-local locally repairable code (LRC) if each of its coordinates can be repaired by accessing at most $r$ other coordinates. When some of the $r$ coordinates are also erased, the $r$-local LRC can not accomplish the local repair, which leads to the concept of $(r,δ)$-locality. A $q$-ary $[n, k]$ linear code $\cC$ is said to have $(r, δ)$-locality ($δ\ge 2$) if for each coordinate $i$, there exists a punctured subcode of $\cC$ with support containing $i$, whose length is at most $r + δ- 1$, and whose minimum distance is at least $δ$. The $(r, δ)$-LRC can tolerate $δ-1$ erasures in total, which degenerates to a $r$-local LRC when $δ=2$. A $q$-ary $(r,δ)$ LRC is called optimal if it meets the Singleton-like bound for $(r,δ)$-LRCs. A class of optimal $q$-ary cyclic $r$-local LRCs with lengths $n\mid q-1$ were constructed by Tamo, Barg, Goparaju and Calderbank based on the $q$-ary Reed-Solomon codes. In this paper, we construct a class of optimal $q$-ary cyclic $(r,δ)$-LRCs ($δ\ge 2$) with length $n\mid q-1$, which generalizes the results of Tamo \emph{et al.} Moreover, we construct a new class of optimal $q$-ary cyclic $r$-local LRCs with lengths $n\mid q+1$ and a new class of optimal $q$-ary cyclic $(r,δ)$-LRCs ($δ\ge 2$) with lengths $n\mid q+1$. The constructed optimal LRCs with length $n=q+1$ have the best-known length $q+1$ for the given finite field with size $q$ when the minimum distance is larger than $4$.

研究の動機と目的

• 最適な $r$-局所 LRC の構成を、$δ \geq 2$ のより一般的な $(r,\delta)$-局所性モデルに拡張すること。
• これまで最適な巡回設定で未解決であった、$q+1$ を割る長さの最適な $q$-元巡回 LRC の新しい構成法を開発すること。
• 有限体上の巡回符号構造を用いて、$(r,\delta)$-LRC に対して一般化された Singleton に類似した境界を達成すること。
• 長さ $n = q+1$ の最適な巡回 LRC の明示的構成を提供し、$d > 4$ の場合に与えられた $q$ に対して最良の長さを達成すること。
• 文献に欠落している $n \mid q-1$ の場合を超えた最適な巡回 LRC の存在と構造を調査すること。

提案手法

• Tamo らが $n \mid q-1$ の場合に最適な巡回 $(r,\delta)$-LRC を構築するために用いたリード＝ソロモン符号の零点集合構造を一般化する。
• 巡回符号の零点集合である定義集合を用い、特に $D$ および $L_m$ の集合を選別することで、局所性と最小距離の制約を満たす。
• $(r,\delta)$-局所性を保証するため、$D \cup (L_1 \cup L_{-1})$ のような定義集合を有する巡回符号を構築する。ここで $L_m$ は $n$ を法とする等差数列である。
• ベルレクランプ＝ジャスティセン符号の枠組みを応用し、$n \mid q+1$ の場合に最適な $q$-元巡回 $r$-局所および $(r,\delta)$-LRC を構築する。
• $τ$ 次単位根の性質を用い、$τ$ 次体 $τ$ における代数的数論的性質を活用することで、符号が巡回的であり、Singletonに類似した境界を満たすことを保証する。
• $k$, $r$, $δ$, $μ$, $q$ の偶奇、$μ$, および $ν'$ に依存する零点集合 $D$ を用い、次元と局所性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \mid q+1$ の長さの最適な巡回 $(r,\delta)$-LRC を、既知の $n \mid q-1$ の場合を超えて構築可能か？
• RQ2 定義零点集合にどのような構造的条件が、巡回符号における最適距離と $(r,\delta)$-局所性の両方を保証するか？
• RQ3 長さ $n = q+1$ の最適な巡回 $(r,\delta)$-LRC は $δ \geq 2$ かつ $d > 4$ の場合に存在するか？そのパラメータは何か？
• RQ4 ベルレクランプ＝ジャスティセン符号の構成法を、$n \mid q+1$ の最適な巡回 LRC を得るためにどのように適合可能か？
• RQ5 与えられた $q$, $k$, $r$, $δ$ に対して、$q$-元最適な巡回 $(r,\delta)$-LRC の最大長 $n$ は何か？

主な発見

• 著者らは、$n \mid q+1$ の最適な $q$-元巡回 $(r,\delta)$-LRC の新しいクラスを構築し、$n \mid q-1$ に限られていた既知の結果を拡張した。
• 長さ $n = q+1$ の場合、最小距離が 4 を超えるとき、与えられた有限体サイズ $q$ に対して最良の長さを達成する。
• $n \mid q+1$ の構成はベルレクランプ＝ジャスティセン符号に基づき、等差数列構造を持つ注意深く選ばれた零点集合の定義集合を含む。
• 本稿は、Tamo らの $r$-局所 LRC を $(r,\delta)$-局所性に一般化し、$δ \geq 2$ の場合に一般化された Singleton に類似した境界に到達した。
• $q$, $μ$, $ν'$ の偶奇に応じた複数のケースについて明示的な構成が提供され、対応する零点集合 $D$ および局所性集合 $L_m$ が示された。
• 結果として、表 III に詳細に示されるような特定のパrameter条件下で、$n \mid q+1$ の最適な巡回 $(r,\delta)$-LRC が存在することが示された。