[論文レビュー] Constructions of round fold maps on $C^{\infty}$ bundles

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、P-操作と局所的に自明なラウンド折り畝写像の構成を用いて、球面やより一般の多様体（特異球面や $S^1$-バンドルを含む）上の $C^{\infty}$ バンドルに対して、新たなラウンド折り畝写像の族を構成する。主な貢献は、このような写像を許容する元多様体の明示的微分同相型分類であり、安定な折り畝写像理論とバンドル論的技法を用いて、従来の結果を新しい位相的型へと拡張したものである。

ABSTRACT

In this paper, we construct round fold maps or stable fold maps with concentric singular value sets introduced by the author on smooth bundles over spheres or bundles over more general manifolds. The class of round fold maps includes special generic maps on spheres and such maps have been constructed on smooth bundles over standard spheres of dimensions larger than 1 and connected sums of smooth bundles over standard spheres of dimensions larger than 1 whose fibers are standard spheres, for example, in previous studies by the author. In this paper, we obtain round fold maps and the diffeomorphism types of their source manifolds which do not appear in these studies in new manners.

研究の動機と目的

• 標準的および連結和バンドルに対する従来のラウンド折り畝写像を許容する多様体の分類を、それらの構成を超えて拡張すること。
• （特異球面および一般の基底多様体を含む）$C^{\infty}$ バンドル上でのラウンド折り畝写像の新たな構成法を開発すること。
• 局所的に自明なラウンド折り畝写像を持つ多様体上の $S^1$-バンドルから生じる元多様体の微分同相型を特定すること。
• 特殊一般写像および安定な折り畝写像に関する先行結果を一般化するために、ラウンド折り畝写像構造を保つP-操作を導入すること。

提案手法

• 局所的に $C^{\infty}$ 自明なラウンド折り畝写像の概念を導入し、バンドル構成に用いるための $C^{\infty}$ 自明写像の一般化を実現する。
• P-操作を従来のバンドル構成技法の一般化として適用し、局所的に自明なラウンド折り畝写像を持つ多様体上の $S^1$-バンドルに対して新たなラウンド折り畝写像を生成する。
• リー空間とホモトピー群の同型を用いて、特に $\pi_1$、$\pi_2$、および $H^2$ を含む元多様体の位相的不変量を分析する。
• 障害論的議論を適用し、ラウンド折り畝写像の条件の下で、$f^{-1}(\partial N(C))$ 上の $S^1$-バンドルの第1ステイフェル＝ホイットニー類およびオイラー類が消えることを示す。
• ラウンド折り畝写像における適切なコアと軸の構造を用いて、元多様体のホモトピー群とリー空間 $W_f$ の位相を関連付ける。
• トポロジカルに準自明な写像の存在と、$k \leq m-n-1$ に対して $\pi_k(M) \cong \pi_k(W_f)$ である同型を根拠として、元多様体を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的および連結和の構成を超えて、（特異球面を含む）球面上の $C^{\infty}$ バンドル上にラウンド折り畝写像を構成できるか？
• RQ2 局所的に自明なラウンド折り畝写像を持つ多様体上の $S^1$-バンドルにラウンド折り畝写像を許容する元多様体の微分同相型は何か？
• RQ3 P-操作は、従来のバンドル構成をどのように一般化し、構造的および位相的不変量を保ちながら新たなラウンド折り畝写像を生成するか？
• RQ4 どのような条件下で、ラウンド折り畝写像を持つ多様体上の $S^1$-バンドルがP-操作によってラウンド折り畝写像を引き継ぐか？
• RQ5 得られる元多様体のホモトピーおよびコホモロジー不変量、特に $H^2(M,\mathbb{Z})$ および $\pi_1(M)$ は何か？

主な発見

• 標準的および連結和の構成を超えて、$S^1$-バンドル $S^2 \times S^3$ 上の $C^{\infty}$ バンドルに対し、新たなラウンド折り畝写像が構成された。
• $n=2$ かつ $m-n \geq 3$ のとき、ラウンド折り畝写像の元多様体 $M$ は $\pi_1(M) \cong \{0\}$ および $H^2(M,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^l$ を満たす。ここで $l$ は軸写像のリー空間内のループの数である。
• 任意の $S^1$-バンドルのオイラー類は、$f^{-1}(\partial N(C))$ 上に制限されるとゼロになるため、境界領域におけるバンドルの可縮性と可逆性が保証される。
• ラウンド折り畝写像 $f: M \to \mathbb{R}^2$ に対してP-操作を施すと、$M$ 上の $C^{\infty}$ 向き付き $S^1$-バンドル $M(\alpha)$ 上に新たなラウンド折り畝写像が得られ、オイラー類は任意の $\alpha \in H^2(M,\mathbb{Z})$ に対して $\alpha$ に一致する。
• 本手法により、$S^3 \times S^3$ から $\mathbb{R}^2$ へのラウンド折り畝写像が構成され、従来の既知の写像とは異なることが示され、本手法の新規性が裏付けられた。
• 写像のリー空間 $W_f$ は $\pi_k(M) \cong \pi_k(W_f)$ を満たす。ここで $k \leq m-n-1$ である。この関係により、リー空間を用いた元多様体のホモトピー的分類が可能となる。