[論文レビュー] Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs using Even Index Gauss Sums

Fan Wu|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、偶数指数のガウス和を用いて強い正則ケイリーグラフの構成を一般化し、そのようなグラフが存在するための必要十分条件を提示する。巡回的クラスと部分体の性質を活用することで、従来の指数2および4のケースから拡張し、指数6の例を含む、より高い偶数指数への新しい一般化を含む、3つの新しい無限族の強い正則グラフを導入する。

ABSTRACT

In this paper, generalizing the result in \cite{GXY}, we construct strongly regular Cayley graphs by using union of cyclotomic classes of $\F_q$ and Gauss sums of index $w$, where $w\geq 2$ is even. In particular, we obtain three infinite families of strongly regular graphs with new parameters.

研究の動機と目的

• ガウス和の高次の偶数指数にまで拡張して、強い正則ケイリーグラフの構成を指数2および4の範囲を超えて行う。
• 巡回的クラスの和集合が強い正則ケイリーグラフを生成するための必要十分条件を確立する。
• スミス＝ホワイト予想に由来する散発的例（特に指数6およびそれ以上）を無限族に一般化する。
• 強い正則ケイリーグラフと (Z/p₁Z, +) における巡回的差集合との間の構造的関係を明らかにする。
• 高次のガウス和の明示的評価を避ける直接的な構成法を提供する。代わりに部分体への属性に依存する。

提案手法

• 先行研究を一般化し、偶数の指数 w ≥ 2 を持つ巡回的クラスの和集合を用いて F_q 上のケイリーグラフを構成する。
• このような和集合が強い正則グラフを生成するかどうかを決定する重要な条件（定理3.3）を導入する。この条件はガウス和の性質に基づく。
• 高次の指数に対しても構成を簡略化するため、明示的評価ではなくガウス和の部分体への属性を分析する。
• ガウス和を定義し、スペクトル的条件を導出するために、F_q の標準加法的特徴 ψ と乗法的特徴を用いる。
• 指数 w と素数べき p₁ を用いて、F_q* の乗法的部分群 D（D = -D を満たす）を構成し、部分体と関連付ける。
• 系3.5は、F_{p^{f̃}} 上の基本ケースが srg を与えるならば、F_q 上の拡張構成も srg を与えるという還元を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス和を用いた強い正則ケイリーグラフの構成は、指数2および4から指数6以上のようなより高い偶数指数へ一般化可能か？
• RQ2 偶数指数 w の巡回的クラスの和集合が強い正則ケイリーグラフを生成するための必要十分条件は何か？
• RQ3 高次のガウス和の評価を回避しながら、強正則性を保証する方法は何か？
• RQ4 得られる強い正則グラフと (Z/p₁Z, +) における巡回的差集合との間に構造的関係は存在するか？
• RQ5 スミス＝ホワイト予想に由来する散発的例（特に指数6）を、本手法を用いて無限族に一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、偶数指数のガウス和を用いて、既知の散発的例を一般化し、3つの新しい無限族の強い正則ケイリーグラフを構成する。
• 例4.1は、p=11、p₁=43、w=6 から得られるパラメータを用いて、スミス＝ホワイト予想の表Iにおける例5を一般化する新しい無限族を提供する。
• 例4.2は、F_{5^f} 上に srg を構成することで部分体の例を一般化し、F_{5^3} 上の基本グラフが D = F_5* である部分体 srg である。
• 例4.3は、F_{2^f} 上に srg を構成し、F_{2^7} 上の基本グラフが D = {1}（素数体の乗法的群）であるため、自明に srg である。
• 定理3.3は完全な特徴付けを提供する：ケイリーグラフが強い正則であるための必要十分条件は、特定のガウス和および部分体埋め込みに関する条件を満たすことである。
• 結果は、強い正則ケイリーグラフと (Z/p₁Z, +) における巡回的差集合との間に深い関係があることを示しており、条件 (3.16) および (3.17) に符号化されている。