[論文レビュー] Constructive analysis of the Navier-Stokes equation

Joerg Kampen|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、速度とその勾配をフィードバック機構による動的制御を用いて、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のレーライ射影形式に対する、グローバル収束性を有する時間離散化数値スキームを提示する。滑らかな初期データで空間無限遠において多項式的減衰を示す場合、有界なグローバル古典解への収束を証明し、初期境界値問題およびコンパクト多様体への拡張も含む。

ABSTRACT

A global time-discretized scheme for the Navier-Stokes equation system in its Leray projection form is defined. It is shown that the scheme converges to a bounded global classical solution for smooth data which have polynomial decay at infinity. Furthermore, the algorithm proposed is extended to the situation of initial-boundary value problems. Algorithms constructed in a different context (cf. [4, 10, 5, 9]) may be used within the proposed scheme in order to compute the solution of Leray's form of the Navier-Stokes system. The main idea for global existence is to define a control function dynamically and show explicitly that the scheme which solves a controlled Navier-Stokes type equation can control the modulus of velocity and the first derivatives of velocity to be bounded. The method described here can be extended to Navier-Stokes equations on compact manifolds which is done in a subsequent paper.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のレーライ射影形式に対する、構成的でグローバル収束性を有する時間離散化スキームの開発。
• 空間無限遠で多項式的減衰を示す滑らかな初期データに対して、グローバル古典解の存在を確立する。
• スキームを初期境界値問題およびコンパクトリーマン多様体へ拡張する。
• 速度およびその一次微分の成長を、動的に定義された制御関数を用いて制御する。
• 既存のアルゴリズムを用いて、レーライ形式ナビエ＝ストークス系を解く計算的に実装可能なフレームワークを提供する。

提案手法

• ナビエ＝ストークス系のレーライ射影形式に対して、ポisson核を含む特異積分作用素を用いて圧力項を扱う時間離散化スキームを構築する。
• 速度およびその一次微分の有界性を保証するため、動的に定義された制御関数を用いる。
• 境界条件に法線微分と係数関数 αi を含むフィードバック項を有するロビン型境界条件を用いて、初期境界値問題への拡張を実現する。
• 線形化方程式の基本解 Γkl を用いて解を表現し、補正項 δvρ,k,l,i をカーネル KΓ と強制項を含む積分方程式で表す。
• 境界補正項は、法線微分とフィードバック係数を組み合わせたカーネル KΓ を持つフレドホルム型積分方程式により解く。
• 境界補正関数 φi および φik の反復計算を可能にするために、リーヴィ型級数展開を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のグローバル古典解への時間離散化スキームを構築可能か？
• RQ2 圧力項に非線形な二次積分項が存在する中で、外部力がない場合に速度およびその微分の成長をどのように制御できるか？
• RQ3 非自明な境界条件を有する初期境界値問題へ、このスキームを拡張可能か？
• RQ4 この手法をコンパクトリーマン多様体上のナビエ＝ストークス方程式へ適応可能か？
• RQ5 レーライ射影形式が、構成的解析および数値実装を可能にする役割は何か？

主な発見

• 提案された時間離散化スキームは、空間無限遠で多項式的減衰を示す滑らかな初期データに対して、有界なグローバル古典解へ収束する。
• 制御関数は動的に定義され、時間全域にわたり速度およびその一次微分の一様有界性を保証する。
• 基本解と積分方程式による解表現により、関連分野の既存ソルバーを用いた構成的計算が可能である。
• フィードバック機構を有するロビン型境界条件を組み込むことで、初期境界値問題への拡張が可能である。
• 後続の論文で示されるように、スキームは形式的にコンパクト多様体上のナビエ＝ストークス方程式へも拡張可能である。
• 境界補正項は、積分方程式の解の収束するリーヴィ型級数展開により計算可能である。