[論文レビュー] Constructive discrepancy minimization for convex sets

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、対称的凸集合 $ K \subseteq \mathbb{R}^n $ に対して、ガウス測度が少なくとも $ e^{-n/500} $ であるような点を、確率的多項式時間アルゴリズムで構成的に見つける単純な手法を提示する。この点は、少なくとも $ n/9000 $ 個の座標が $ \{\pm 1\} $ に属する。手法は、ランダムなガウスベクトルを $ K \cap [-1,1]^n $ に射影することに基づく。本手法により、スペンサーやの定理に対する初の構成的証明が得られ、グラスキンとヤンノポウロスの結果に対しても、単体に限らない一般の凸集合に適用可能な新たな構成的アプローチが提供される。

ABSTRACT

A classical theorem of Spencer shows that any set system with n sets and n elements admits a coloring of discrepancy O(n^1/2). Recent exciting work of Bansal, Lovett and Meka shows that such colorings can be found in polynomial time. In fact, the Lovett-Meka algorithm finds a half integral point in any "large enough" polytope. However, their algorithm crucially relies on the facet structure and does not apply to general convex sets. We show that for any symmetric convex set K with measure at least exp(-n/500), the following algorithm finds a point y in K \cap [-1,1]^n with Omega(n) coordinates in {-1,+1}: (1) take a random Gaussian vector x; (2) compute the point y in K \cap [-1,1]^n that is closest to x. (3) return y. This provides another truly constructive proof of Spencer's theorem and the first constructive proof of a Theorem of Gluskin and Giannopoulos.

研究の動機と目的

• スペンサーやの不均衡定理の構成的証明を提供すること。これは、従来、非構成的であるとされるピーコンホールドの議論に依存していた。
• Lovett-Meka のような手法が facet 構造に依存するのとは異なり、多面体に限らない一般の対称的凸集合に対しても、構成的不均衡最小化を拡張すること。
• グラスキンとヤンノポウロスによる、大きなガウス測度を持つ対称的凸体における部分的色分けに関する定理の、初の構成的証明を与えること。
• $ K $ の分離オракルのみを必要とする手法を開発し、広範な凸集合のクラスに適用可能にする。

提案手法

• ランダムなガウスベクトル $ x^* \sim \mathcal{N}(0, I_n) $ をサンプリングする。
• $ y^* = \arg\min_{y \in K \cap [-1,1]^n} \|x^* - y\|_2 $ を計算する。すなわち、$ K $ と超立方体の共通部分集合における $ x^* $ に最も近い点である。
• $ y^* $ を出力する。高確率で、$ \Omega(n) $ 個の座標が $ \{\pm 1\} $ に属する。
• ガウス測度の推定と測度濃縮を用いて、$ y^* $ が多数の $ \pm 1 $ 要素を持つ確率を評価する。
• $ K $ の対称性と凸性を活用し、不均衡制御に十分な構造を保つように射影を保証する。
• 低次元化の議論を部分空間への射影により適用し、十分な測度を持つ一般の凸体へと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の対称的凸集合（多面体に限らない）に対して、不均衡最小化のための構成的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 スペンサーとグラスキンの定理における非構成的ピーコンホールドの議論を、確率的で多項式時間のアルゴリズムに置き換えられるか？
• RQ3 $ K $ が大きなガウス測度を持つ場合、ランダムなガウスベクトルを $ K \cap [-1,1]^n $ に射影すると、多くの $ \pm 1 $ 座標を持つ点が得られるか？
• RQ4 ロヴァット・ミーカのアルゴリズムの枠組みを、幾何確率を用いて多面体的集合を超えて一般化できるか？

主な発見

• $ K $ が対称的で、ガウス測度が少なくとも $ e^{-n/500} $ である限り、アルゴリズムは $ K \cap [-1,1]^n $ 内の点 $ y $ を出力し、そのうち少なくとも $ n/9000 $ 個の座標が $ \{\pm 1\} $ に属する。
• 手法は構成的であり、多項式時間で実行可能で、$ K $ の分離オラクルのみを必要とし、完全な facet 述語は不要である。
• 本手法により、従来非構成的ピーコンホールドの議論に依存していたスペンサーやの定理に対する初の構成的証明が得られた。
• 本手法は、ベクトルバランスにも拡張可能である。$ \|v_i\|_2 \leq 1/40 $ を満たす $ v_i \in \mathbb{R}^n $ に対して、$ \Omega(m) $ 個の $ \{\pm 1\} $ 要素を持つ部分的色分け $ y_i $ を見つけ、$ \sum y_i v_i \in K $ となるようにする。
• $ K $ がスケーリングされたり、部分空間に射影されたりしても、ガウス測度の条件が保たれていれば、結果は依然として成り立つ。
• 分析ではガウス測度の濃縮と回転不変性を用いて、射影で多数の $ \pm 1 $ 座標が得られる確率を評価している。