[論文レビュー] Constructive Representation Theory for the Feynman Operator Calculus

Tepper L. Gill, W. W. Zachary|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2007

advanced mathematical theories参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、測度や連続的経路空間に依存せずに経路積分を直接構成できる新たなヒルベルト空間を導入することで、ファインマンの時序整理された演算子積分法に対する厳密な構成的枠組みを確立する。時間順序付き演算子への半群理論の拡張、一般化されたヒルレ＝ヨシダの定理の証明、および放物型と双曲型の発展方程式を統一する測度を伴わない経路積分形式化がなされる。

ABSTRACT

In this paper, we survey recent progress on the constructive theory of the Feynman operator calculus. (The theory is constructive in that, operators acting at different times, actually commute.) We first develop an operator version of the Henstock-Kurzweil integral, and a new Hilbert space that allows us to construct the elementary path integral in the manner originally envisioned by Feynman. After developing our time-ordered operator theory we extend a few of the important theorems of semigroup theory, including the Hille-Yosida theorem. As an application, we unify and extend the theory of time-dependent parabolic and hyperbolic evolution equations. We then develop a general perturbation theory and use it to prove that all theories generated by semigroups are asympotic in the operator-valued sense of Poincare. This allows us to provide a general theory for the interaction representation of relativistic quantum theory. We then show that our theory can be reformulated as a physically motivated sum over paths, and use this version to extend the Feynman path integral to include more general interactions. Our approach is independent of the space of continuous functions and thus makes the question of the existence of a measure more of a natural expectation than a death blow to the foundations for the Feynman integral.

研究の動機と目的

• ファインマンの時序整理された演算子積分法に、数学的に厳密で構成的な基礎を提供すること。ここで、異なる時刻における演算子は可換である。
• ファインマン経路積分の基礎的問題を解決するため、核関数およびデルタ関数を有界な要素として埋め込むヒルベルト空間を構成すること。
• 古典的半群理論（特にヒルレ＝ヨシダおよびトレッター＝カトの定理）を時序整理された設定に拡張し、時間依存の発展に対する一般理論を確立すること。
• 時間依存の放物型および双曲型発展方程式の理論を、一つの作用素的枠組み内で統一的かつ一般化すること。
• すべての時序整理された発展演算子が、ポアンカレ作用素値の意味で漸近的であることを証明する一般化された摂動理論を構築し、相対論的量子理論における一般化された相互作用表現を可能にすること。

提案手法

• 最小限の正則性条件のもとで時序整理された作用素積分を扱える、ヘンストック＝キュルツヴァイル積分の作用素版を導入する。
• 連続的テンソル積ヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\otimes}^{2}(\varphi)$ を構成し、ファインマン核およびデルタ関数をノルム有界な要素として支持する。
• 時間順序付き積分および生成子の定理を用いて時間順序付き発展を定義し、非可換な時序整理された作用素へとヒルレ＝ヨシダの定理を一般化する。
• 作用素の定義域が空集合を共有する場合を含む状況においても、トレッター＝カトの定理を時間依存ハミルトニアンに拡張する。
• 時間順序付き発展演算子を用いた経路の和として経路積分を定式化し、連続的経路上の測度に依存しない。
• 分離技術を用いて、時序整理された積分法と従来の解析との関係を確立し、形式的な分離手続きに依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファインマンの時序整理された演算子積分法に対して、演算子が可換であるという条件下で、数学的に厳密で構成的なヒルベルト空間枠組みを構築可能か？
• RQ2 連続的経路空間上の測度やその空間自体に依存せずに、ファインマン経路積分をどのように構成できるか？
• RQ3 古典的半群理論（例：ヒルレ＝ヨシダ、トレッター＝カト）を時序整理された作用素設定にどの程度まで拡張できるか？
• RQ4 時序整理された発展に対する一般化された摂動理論を構築可能か。特に、すべての時序整理された発展演算子がポアンカレ作用素値の意味で漸近的であることを証明できるか？
• RQ5 相対論的量子理論における相互作用表現を、時序整理された作用素積分法を用いて体系的に導出可能か？

主な発見

• ファインマン核およびデルタ関数が有界作用素として含まれる新たなヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\otimes}^{2}(\varphi)$ が構成され、測度に依存しない経路積分の直接的構成が可能になる。
• ヒルレ＝ヨシダの定理が時序整理された作用素へ一般化され、弱い条件下でも時序整理された半群の存在が保証される。
• 理論は、時間依存の放物型および双曲型発展方程式の解を、一つの時序整理された作用素的枠組み内で統一的かつ拡張的に扱う。
• すべての時序整理された発展演算子がポアンカレ作用素値の意味で漸近的であることを証明する一般化された摂動理論が構築された。
• 経路積分は、連続的経路上の測度に依存しない経路の和として再定式化され、測度の必要性が根本的必要性ではなく、単なる慣習であることが示された。
• 分離法が一般化され、二つの作用素の定義域が空集合を共有する場合でさえ、トレッター＝カトの定理の拡張が可能になった。