[論文レビュー] Contact homology of left-handed stabilizations and plumbing of open books

Frédéric Bourgeois, Otto van Koert|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、次元が1より大きい閉じた接触多様体に対して、左回りのデーン・セイデルねじれを含む開ブック分解を用いて、接触ホモロジーが消える接触構造を構成する。主なメカニズムは、一意な有限エネルギーの擬複素平面を境界とする閉リーブ軌道を同定することであり、接触ホモロジー代数の単位元が完全になることから、接触ホモロジーが消える。この構成は、開ブックのプラミング（2-ムラスギ和）による連結和への一般化が可能であり、左回りの安定化がすべての次元で接触ホモロジーを消すという予想を支持する。

ABSTRACT

We show that on any closed contact manifold of dimension greater than 1 a contact structure with vanishing contact homology can be constructed. The basic idea for the construction comes from Giroux. We use a special open book decomposition for spheres. The page is the cotangent bundle of a sphere and the monodromy is given by a left-handed Dehn twist. In the resulting contact manifold we exhibit a closed Reeb orbit that bounds a single finite energy plane. As a result, the unit element of the contact homology algebra is exact and so the contact homology vanishes. This result can be extended to other contact manifolds by using connected sums. The latter is related to the plumbing- or 2-Murasugi sum of the contact open books. We shall give a possible description of this construction and some conjectures about the plumbing operation.

研究の動機と目的

• 左回りのデーンねじれを用いた開ブック分解によって得られる特定の接触構造について、接触ホモロジーが消えることを示すこと。
• 開ブックのプラミング（2-ムラスギ和）を用いて、接触多様体の連結和へのこの結果の拡張。
• 左回りの安定化がすべての次元 ≥3 で接触ホモロジーを消すという予想に証拠を提供すること。
• 開ブックのプラミングと接触連結和の関係、特に高次元における関係を調査すること。
• 接触ホモロジーが消えることは、高次元接触トポロジーにおけるオーバートゥイスト的構造の特徴づけであるという考えを支持すること。

提案手法

• ページが $T^*S^{n-1}$ で単一の左回りデーン＝セイデルねじれによって与えられる、球面 $S^{2n-1}$ に対する開ブックを構成する。
• 得られた接触多様体内に、一意な有限エネルギーの擬複素平面を境界とする閉リーブ軌道を同定する。
• この擬複素平面の一意性を用いて、接触ホモロジー代数の単位元が完全であることを示し、したがってホモロジー全体が消えることを導く。
• 2-ムラスギ和としてのプラミング構成を用いて、2つの接触開ブックを、リーマン多様体に沿ってページを貼り合わせることで結合する。
• ウェイントン近傍定理を用いてプラミング近傍上の座標を特定し、新しいモノドロミーを $\tilde{\psi}_2 \circ \tilde{\psi}_1$ として定義する。
• 得られた開ブックが接触連結和を支持すると予想する。これは、既知の3次元結果を高次元に一般化するものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元の開ブックにおいて、左回りのデーンねじれを用いて得られる接触構造について、接触ホモロジーが消えることは可能か？
• RQ2 開ブックのプラミング（2-ムラスギ和）は、高次元において元の接触多様体の接触連結和と接触微分同相である接触構造をもたらすか？
• RQ3 リーブ軌道が一意な有限エネルギーの擬複素平面を境界とする場合、接触ホモロジー代数における単位元が完全になるか？
• RQ4 高次元 >3 において、接触開ブックの左回りの安定化が接触ホモロジーを消すことを示せるか？
• RQ5 ラグランジュ球面を含むページのプラミングとモノドロミーの合成は、接触構造を保存し、連結和構造を支持するか？

主な発見

• ページが $T^*S^{n-1}$ でモノドロミーが単一の左回りデーンねじれである開ブックから得られる $S^{2n-1}$ 上の接触構造について、接触ホモロジーは消える。
• これは、閉リーブ軌道が一意な有限エネルギーの擬複素平面を境界とすることに起因し、接触ホモロジー代数の単位元が完全になるためである。
• この構成は、開ブックのプラミングを用いた連結和へと拡張可能であり、接触ホモロジーの消える性質を保つ。
• プラミング操作が接触開ブックを形成し、接触連結和を支持すると予想され、トーリスの知られている3次元結果を高次元に一般化する。
• この結果は、左回りの安定化がすべての次元 ≥3 で接触ホモロジーを消すという予想を支持する。特に、ラグランジュ球面が境界に平行である場合に顕著である。