[論文レビュー] Contact Structures on G_2-Manifolds and Spin 7-Manifolds

M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、接触構造を備え、埋め込まれたアソシエイティブ3次元多様体が接触部分多様体をなす、無限に多くの相異なる非コンパクトなG₂多様体—一部は完全なG₂ホロノミーを有する—を構成する。接触構造のチューブ型近傍拡張を用いて、スピン7多様体内の3次元多様体上の接触構造を、G₂多様体内の近傍上への接触構造へ拡張できることを証明し、構造的整合性を要件としない、G₂幾何と接触幾何の両方が互いに適合する新しい例を提示する。

ABSTRACT

We show that there exist infinitely many pairwise distinct non-closed G_2-manifolds (some of which have holonomy full G_2) such that they admit co-oriented contact structures and have co-oriented contact submanifolds which are also associative. Along the way, we prove that there exists a tubular neighborhood N of every orientable three-submanifold Y of an orientable seven-manifold with spin structure such that for every co-oriented contact structure on Y, N admits a co-oriented contact structure such that Y is a contact submanifold of N. Moreover, we construct infinitely many pairwise distinct non-closed seven-manifolds with spin structures which admit co-oriented contact structures and retract onto co-oriented contact submanifolds of co-dimension four.

研究の動機と目的

• 完全なG₂ホロノミーを有する相異なる非コンパクトなG₂多様体を無限に構成し、それらが共通の向き付き接触構造を備えること。
• スピン7多様体の向き付き3次元部分多様体Y上の任意の共通の向き付き接触構造が、Yのチューブ型近傍上への共通の向き付き接触構造に拡張可能であることを示すこと。
• 余次元4の共通の向き付き接触部分多様体に再び収縮するスピン構造を備えた7次元多様体の存在を示すこと。
• 構造的整合性を前提としない、G₂多様体の明示的構成を提供し、その中でアソシエイティブ部分多様体が接触部分多様体にもなること。

提案手法

• 文献[11]の結果を活用し、任意の閉じた、向き付けられた、実解析的3次元多様体Yとその上の接触構造を、アソシエイティブ部分多様体としてG₂多様体Mに埋め込むこと。
• YのMにおけるチューブ型近傍がY × ℝ⁴微分同相であることを用い、局所的に接触構造を拡張可能であることを利用すること。
• 補題2.1を適用し、Y上の共通の向き付き接触構造ξを、Y × ℝ⁴上の共通の向き付き接触構造ηに拡張し、Yが(Y × ℝ⁴, η)の接触部分多様体となるようにすること。
• 非平坦な接触計量を持つYを選択することで、完全なG₂ホロノミーを保証する。定理3.6により、計量が平坦でない場合、ホロノミーは正確にG₂となる。
• 非平坦な関連計量を備えた接触構造を有する3次元多様体の存在が、先行研究により既知であることを利用すること。
• G₂多様体のスピン構造と3次元多様体の平行化可能性を用い、Y × ℝ⁴がスピン構造を誘導することを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン7多様体の向き付き3次元部分多様体Y上の任意の共通の向き付き接触構造は、Yのチューブ型近傍上への共通の向き付き接触構造に拡張可能か？
• RQ2 完全なG₂ホロノミーを有する相異なる非コンパクトなG₂多様体が無限に存在し、それらが共通の向き付き接触構造とアソシエイティブ部分多様体（接触部分多様体として）を含むか？
• RQ3 スピン構造を備えた7次元多様体が、余次元4の共通の向き付き接触部分多様体に再び収縮し、互換性のある接触構造を備えることができるか？
• RQ4 完全なG₂ホロノミーを有するG₂多様体を構成し、埋め込まれたアソシエイティブ3次元多様体が接触部分多様体にもなるような接触構造を備えることは可能か？

主な発見

• 完全なG₂ホロノミーを有する相異なる非コンパクトなG₂多様体が無限に存在し、それらは共通の向き付き接触構造を備え、アソシエイティブ3次元部分多様体が接触部分多様体として含まれる。
• スピン7多様体内の任意の向き付き3次元部分多様体Yに対して、Y上の共通の向き付き接触構造は、Yのチューブ型近傍N ≈ Y × ℝ⁴上への共通の向き付き接触構造に拡張可能である。
• Yが向き付け可能で平行化可能である場合、Y × ℝ⁴はスピン構造を誘導する。これはすべての閉じた3次元多様体に成立する。
• 余次元4の共通の向き付き接触部分多様体に再び収縮し、互換性のある共通の向き付き接触構造を備えるスピン構造を備えた7次元多様体が無限に存在する。
• 非平坦な接触計量を有する3次元多様体を選択することで、完全なG₂ホロノミーを有するG₂多様体が得られ、ホロノミーが正確にG₂となることが保証される。
• 接触構造のチューブ型近傍への拡張はG₂構造に依存せず、構造的整合性を要件としないが、適合するが非複合的な幾何構造の構成が可能となる。