[論文レビュー] Contact structures on Lie algebroids

Cristian Ida, Paul Popescu|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数ランクのリー代数群への(ほぼ)接触幾何の一般化を行い、リー代数群上での接触およびほぼ接触リーマン構造を導入する。一般化幾何とビッグ・タンジェント多様体の構成を用いて、リーマン多様体上の垂直リウヴィル分布に、新しい(ほぼ)接触リーマン構造を確立する。接触およびほぼ接触リーマン構造の間で一対一対応を示し、K-接触、サハキアン、ケンモツスリー代数群の特徴づけを行う。

ABSTRACT

In this paper we generalize the main notions from the geometry of (almost) contact manifolds in the category of Lie algebroids. Also, using the framework of generalized geometry, we obtain an (almost) contact Riemannian Lie algebroid structure on a vertical Liouville distribution over the big-tangent manifold of a Riemannain manifold.

研究の動機と目的

• 奇数ランクのリー代数群のカテゴリーへの(ほぼ)接触多様体理論の拡張を図ること。
• リー代数群上での接触リーマン構造とほぼ接触リーマン構造の間の双対的対応を確立すること。
• 一般化幾何とリーマン多様体のビッグ・タンジェント多様体を用いて、接触リー代数群の新しい例を構成すること。
• リー代数群の文脈においてK-接触、サハキアン、ケンモツ構造を導入し、それらを研究すること。

提案手法

• リー代数群上の微分計算（外微分、内部積、リー微分）を一般化し、(ほぼ)接触構造を定義する。
• リー代数群上の接続およびリーマン幾何を用いて、整合性を持つ幾何的構造を構築する。
• リーマン多様体 (M,g) のビッグ・タンジェント多様体に一般化幾何の枠組みを適用し、垂直フレーム付きリーマン f(3,1)-構造を定義する。
• 積分可能な垂直リウヴィル分布への一般化構造の制限により、ほぼ接触リーマン構造を備えたリー代数群としての性質が得られる。
• ほぼ接触構造の計量整合性を示す基本的恒等式 $ \overline{G}(\overline{f}(X),\overline{f}(Y)) = \overline{G}(X,Y) - \overline{\eta}(X)\overline{\eta}(Y) $ を導出する。
• 接触条件を示すために $ \overline{d}_V \overline{\eta} = \frac{\overline{\Phi}}{\sqrt{F^2 + K^2}} $ を証明し、非消滅性 $ \overline{\eta} \wedge (\overline{d}_V \overline{\eta})^{n-1} \neq 0 $ を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的(ほぼ)接触多様体理論を、奇数ランクのリー代数群へどのように一般化できるか？
• RQ2 リー代数群上での接触リーマン構造とほぼ接触リーマン構造の関係は何か？
• RQ3 リーマン多様体のビッグ・タンジェント多様体上の垂直リウヴィル分布に(ほぼ)接触リーマン構造を構成できるか？
• RQ4 リー代数群の文脈におけるK-接触、サハキアン、ケンモツ構造の類似物は何か？
• RQ5 一般化幾何は、拡張されたリー代数群上でのこのような構造の構成をどのように支援するか？

主な発見

• リー代数群上での接触リーマン構造とほぼ接触リーマン構造の間で、一対一対応が確立された。
• リーマン多様体 $ (M,g) $ のビッグ・タンジェント多様体上の垂直リウヴィル分布 $ V_{\xi_2} $ は、一般化幾何の枠組みから誘導される明確に定義されたほぼ接触リーマン構造を持つ。
• 構造 $ (\overline{f}, \overline{\xi}, \overline{\eta}, \overline{G}) $ は、ほぼ接触リーマンリー代数群の定義的恒等式を満たす。
• 基本形式 $ \overline{\Phi} $ と1形式 $ \overline{\eta} $ は $ \overline{d}_V \overline{\eta} = \frac{\overline{\Phi}}{\sqrt{F^2 + K^2}} $ を満たし、構造の接触的性質を確認する。
• $ \overline{\eta} \wedge (\overline{d}_V \overline{\eta})^{n-1} $ の非消滅性により、$ (\overline{\eta}, \frac{\overline{\Phi}}{\sqrt{F^2 + K^2}}) $ がリー代数群 $ V_{\xi_2} $ 上の接触構造であることが確認される。
• 本稿では、K-接触、サハキアン、ケンモツ構造をリー代数群に導入し、それらを特徴づけ、古典的微分幾何的概念をこの代数的・幾何的設定へ拡張した。