[論文レビュー] Context-free grammars for several polynomials associated with Eulerian polynomials

Shi-Mei Ma, Jun Ma+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、文脈自由文法を用いて、$q$-Eulerian多項式、交代ランク多項式、およびタイプAおよびBの順列多項式の組合せ的・文法的記述を提供する。ラベル付き順列における形式的微分を用いて、明示的な母関数と畳み込み公式を導出し、文法的ラベリングと微分作用素を通じて、これら多項式の統一的枠組みを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we present grammatical descriptions of several polynomials associated with Eulerian polynomials, including q-Eulerian polynomials, alternating run polynomials and derangement polynomials. As applications, we get several convolution formulas involving these polynomials.

研究の動機と目的

• 文脈自由文法を用いて、タイプAおよびBの$q$-Eulerian多項式の文法的記述を構築すること。
• 文法的アプローチを、タイプBの交代ランク多項式および順列多項式へと拡張すること。
• 一貫したラベリングおよび微分作用素フレームワークを通じて、これらの多項式の背後にある組合せ的構造を統一すること。
• 形式的微分作用素を用いて、これらの多項式の畳み込み公式および母関数を導出すること。

提案手法

• アルファベット $A = \{x, y, z, e\}$ 上の文脈自由文法 $G$ を定義し、生成規則を $x \to xy^2$、$y \to x^2y$、$z \to x^2y^2z^{-3}$、$e \to qez^4$ とする。
• 順列から得られる単項式に形式的微分 $D$ を適用し、$D$ が文法規則を尊重する微分作用素として作用するようにする。
• 超過度、反超過度、シングルトン、サイクル数のそれぞれに対し、順列を $x$、$y$、$z$、$q$ でラベリングする。
• $D^n(e)$ の作用を用いて、$\text{wexc}(\pi)$、$\text{aexc}(\pi)$、$\text{single}(\pi)$、$\text{cyc}(\pi)$ などの統計を符号する多項式を生成する。
• 微分方程式を用いて、$G(x,y;t) = \frac{e^{(1-2x)t}}{1 - \frac{x}{y-x}(e^{2(y-x)t} - 1)}$ のような母関数を導出する。
• $D^n(e)$ 及びその成分の構造を分析することにより、再帰関係および畳み込み恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文脈自由文法を用いて、サイクル数および符号統計を伴うタイプBの$q$-Eulerian多項式をどのように生成できるか？
• RQ2 タイプBの交代ランク多項式の背後にある文法的構造は何か？ そして、形式的微分を用いてどのように導出できるか？
• RQ3 一貫した文法的ラベリングシステムは、超過度、反超過度、およびサイクル数に関して、タイプBの順列多項式を記述できるか？
• RQ4 これらの多項式の文法的表現の形式的微分から、どのような畳み込み公式が導かれるか？
• RQ5 これらの多項式の母関数は、微分方程式および指数型母関数とどのように関係しているか？

主な発見

• 形式的微分 $D^n(e)$ は、タイプBの順列多項式 $d_n^B(x)$ を生成し、$D^n(e) = e \sum_{\pi \in \mathcal{D}_n^B} x^{2\text{wexc}(\pi)} y^{2\text{aexc}(\pi)} z^{4\text{single}(\pi)} q^{\text{cyc}(\pi)}$ が成り立つ。
• 畳み込み公式が導出される：$d_{n+1}^B(x) = d_n^B(x) + x \sum_{k=0}^{n-1} 2^{n-k+1} \binom{n}{k} d_k^B(x) A_{n-k}(x)$。
• 母関数 $G(x,y;t) = \frac{e^{(1-2x)t}}{1 - \frac{x}{y-x}(e^{2(y-x)t} - 1)}$ は、文法から導かれる微分方程式を満たすことが示された。
• 再帰関係 $d(n+1,i,j) = d(n,i,j) + 2id(n,i,j-1) + 2jd(n,i-1,j) + 4(n-i-j+2)d(n,i-1,j-1)$ が成り立ち、初期条件は $d(1,0,0) = 1$ である。
• 追加パラメータ $u,v,z$ を含む母関数は $\frac{e^{(vz - (u+v)x)t}}{1 - \frac{x}{y-x}(e^{(u+v)(y-x)t} - 1)}$ であり、符号および正の要素数を含むモデルの拡張が可能である。
• 文法 $G = \{x \to xy^2, y \to x^2y, z \to x^2y^2z^{-3}, e \to qez^4\}$ は、$D^n(e)$ を用いて、すべてのタイプBの順列を統計付きに生成する。