[論文レビュー] Eulerian polynomials, perfect matchings and Stirling permutations of the second kind

Shi-Mei Ma, Yeong‐Nan Yeh|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では第二種スターリング順列を導入し、オイラー多項式、完全マッチング、サイクル統計の間の組合せ的関係を確立する。サイクル上昇の plateau、固定点、サイクルを用いたこれらの順列を数える多項式の母関数と漸化式を提示し、対称性および実根性の性質を明らかにする。主な結果として、指数型母関数および文脈自由文法を用いて、それらがデランジュメントおよび $2n$-連結グラフと結びつくことが示される。

ABSTRACT

In this paper, we first present combinatorial proofs of a kind of expansions of the Eulerian polynomials of types A and B, and then we introduce Stirling permutations of the second kind. In particular, we count Stirling permutations of the second kind by their cycle ascent plateaus, fixed points and cycles.

研究の動機と目的

• 古典的スターリング順列の一般化として第二種スターリング順列を定義し、それらを研究すること。
• 完全マッチングを用いてタイプAおよびBのオイラー多項式の組合せ的解釈を確立すること。
• 母関数を用いて、サイクル上昇の plateau、固定点、サイクルを用いたスターリング順列の列挙を行うこと。
• 得られた多項式のための漸化式および対称性の性質を導出すること。
• 指数型母関数を用いて、スターリングデランジュメントと $2n$-連結グラフとの関係を調査すること。

提案手法

• $s$-逆順序列を導入し、それらを用いてオイラー多項式 $A_n(x)$ および $B_n(x)$ を特定の整数列上の母関数として表現する。
• 古典的 $k$-スターリング順列条件の一般化を用いて、第二種スターリング順列を定義する。
• 文脈自由文法および指数型母関数を用いて、多項式 $R_n(x,q)$ および $N_n(x)$ の漸化式を導出する。
• 指数公式を適用し、スターリングデランジュメントの数の母関数 $\sum_{n\geq 0} q_n \frac{z^n}{n!} = \frac{e^{-z}}{\sqrt{1-2z}}$ を導出する。
• スターリングデランジュメントの母関数とデランジュメント多項式の間の双対関係を確立し、たとえば $S^2(x,z) = d(x,2z)$ のような関係を示す。
• 微分作用素 $\frac{\partial}{\partial x}$ と組合せ的分解を用いて、漸化式 $R_{n+1}(x,q) = 2nxR_n(x,q) + 2x(1-x)\frac{\partial}{\partial x}R_n(x,q) + 2nxqR_{n-1}(x,q)$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二種スターリング順列は、サイクル上昇の plateau、固定点、サイクルを用いてどのように定義され、列挙されるか？
• RQ2 スターリング順列の母関数とタイプAおよびBのオイラー多項式の母関数の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 多項式 $R_n(x,q)$ および $N_n(x)$ は完全マッチングおよびデランジュメントとどのように関係するか？
• RQ4 サイクル構造を用いたスターリング順列の列挙を支配する漸化式は何か？
• RQ5 得られた多項式はどのような対称性および根の性質を示すか？

主な発見

• サイクル上昇の plateau を数える多項式 $R_n(x)$ は、初期条件 $R_1(x,q)=0$、$R_2(x,q)=2qx$、$R_3(x,q)=4qx(1+x)$ を満たす漸化式 $R_{n+1}(x,q) = 2nxR_n(x,q) + 2x(1-x)\frac{\partial}{\partial x}R_n(x,q) + 2nxqR_{n-1}(x,q)$ を満たす。
• $R_n(x)$ の母関数は $S^2(x,z) = d(x,2z)$ を満たし、スターリングデランジュメントと古典的デランジュメントの間に双対性を確立する。
• $n \geq 2$ に対して多項式 $R_n(x)$ は対称的であり、すべての根が単一の実根であることが、既知の実根性に関する結果との関連を用いて示される。
• $S(-1,z)$ を評価すると $\sqrt{\sec(2i z)}$ が得られ、符号付きのサイクル上昇の plateau の和が、$h_0=1$、$h_1=2$、$h_2=28$、$h_3=1112$、$h_4=87568$ を満たす数列 $h_n$ と関連づけられ、特定のサイクルおよび超過制約を満たす順列の数を数える。
• スターリングデランジュメントの数 $q_n$ は $q_{n+1} = 2n(q_n + q_{n-1})$ を満たし、初期条件は $q_0=1$、$q_1=0$、$q_2=2$ であり、その指数型母関数は $\frac{e^{-z}}{\sqrt{1-2z}}$ である。
• 関係 $M_n(x) = x^n N_n(1/x)$ により、完全マッチングにおける奇数番目の大きい要素の数を数える多項式 $M_n(x)$ と、偶数番目の大きい要素の数を数える多項式 $N_n(x)$ との間に双対性が現れ、マッチングにおける偶数および奇数サイクル統計の間の双対性を明らかにする。