[論文レビュー] Contextuality bounds the efficiency of classical simulation of quantum processes

Angela Karanjai, Joel J. Wallman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、量子力学におけるコンテキスト性が、量子部分理論をシミュレートするための古典的メモリの最小要件に根本的な下界を課すことを確立している。qubit スタビライザー部分理論に関しては、古典的シミュレーションが少なくとも Ω(n²) の古典的ビットを必要とすることが証明され、Gottesman-Knill アルゴリズムのスケーリングと一致しており、コンテキスト性が線形スケーリングのシミュレーションを不可能にすることを示しており、この文脈においてコンテキスト性が量子優位性のリソースであることを特定している。

ABSTRACT

Contextuality has been conjectured to be a super-classical resource for quantum computation, analogous to the role of non-locality as a super-classical resource for communication. We show that the presence of contextuality places a lower bound on the amount of classical memory required to simulate any quantum sub-theory, thereby establishing a quantitative connection between contextuality and classical simulability. We apply our result to the qubit stabilizer sub-theory, where the presence of state-independent contextuality has been an obstacle in establishing contextuality as a quantum computational resource. We find that the presence of contextuality in this sub-theory demands that the minimum number of classical bits of memory required to simulate a multi-qubit system must scale quadratically in the number of qubits; notably, this is the same scaling as the Gottesman-Knill algorithm. We contrast this result with the (non-contextual) qudit case, where linear scaling is possible.

研究の動機と目的

• コンテキスト性と量子プロセスの古典的可視化との間の定量的関係を確立すること。
• 古典的に可視化可能なqubit スタビライザー部分理論が状態に依存しないコンテキスト性を示すという、表面的矛盾を解消すること。
• コンテキスト性が、量子部分理論をシミュレートするための古典的メモリ要件に根本的な下界を課すかどうかを特定すること。
• コンテキスト性が豊富なqubit システムと非コンテキスト性のあるqudit システムにおける古典的シミュレーションの複雑さを比較すること。
• Gottesman-Knill アルゴリズムが、コンテキスト性のため、漸近的に最適であることを示すこと。

提案手法

• 量子部分理論を、測定可能な観測量の閉じた集合として操作的に定義し、それに関連するすべての量子状態と測定統計を含める。
• 古典的シミュレーションを、測定結果に基づいて内部状態を更新する状態機械としてモデル化し、可能な制約（状態更新）と状態集合の互いに素である性質（SSD）のみを満たす。
• 再帰的数え上げの議論を用いて、1つの古典的内部状態が表現できる量子状態の最大数を上限づける。
• この上限をn-クビットスタビライザー部分理論に適用し、スタビライザー状態の総数が |S| = 2ⁿ∏ⱼ(2ʲ+1) であり、1つの古典的状態が表現できる最大状態数が m = 5×3ⁿ⁻² で抑えられることを用いる。
• 最小古典的メモリ要件を log₂(|S|/m) ≈ ½n(n−1) として導出し、nに関して2次スケーリングであることを示す。
• この下界を Gottesman-Knill アルゴリズムの n(2n+1) ビットと比較し、nに関して線形スケーリングより良いシミュレーションが不可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンテキスト性は、量子部分理論をシミュレートするための古典的メモリ要件に根本的な下界を課すか？
• RQ2 qubit スタビライザー部分理論は、状態に依存しないコンテキスト性を示すにもかかわらず、なぜ古典的に可視化可能なのか？
• RQ3 コンテキスト性の存在が、非コンテキスト性のqudit システムと同様に、線形スケーリングの古典的シミュレーションを排除できるか？
• RQ4 Gottesman-Knill アルゴリズムは、n-クビットスタビライザー部分理論をシミュレートする上で漸近的に最適か？
• RQ5 完全な確率再現なしに、コンテキスト性の存在のみから、古典的シミュレーションのメモリコストを下限づけることができるか？

主な発見

• コンテキスト性は、古典的メモリに根本的な下界を課す：コンテキスト性が豊富な量子部分理論のシミュレーションには、少なくとも Ω(n²) の古典的ビットが必要である。
• n-クビットスタビライザー部分理論では、必要な最小古典的ビット数は約 ½n(n−1) であり、これは全スタビライザー状態数と1つの古典的内部状態が表現できる最大状態数の比から導出される。
• この2次スケーリングは、Gottesman-Knill アルゴリズムのメモリ使用量と一致しており、nに関して線形スケーリングより良いシミュレーションが不可能であることを証明している。
• この結果は、離散Wigner関数サンプリングに基づく線形スケーリングのシミュレーションが、qubit スタビライザー部分理論ではコンテキスト性のため不可能であることを説明している。
• この下界は、時間計算量に対しても同様の下界を示しており、空間計算量が時間計算量を下限づけるからである。
• この枠組みは他の部分理論にも一般に適用可能であり、コンテキスト性に基づいてメモリ下限を導出する方法を提供し、非閉じた回路クラスへの拡張も可能性を有する。