[論文レビュー] Representing probabilistic data via ontological models

Nicholas Harrigan, Terry Rudolph+1 more|ArXiv.org|Sep 7, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、正の確率分布とインジケータ関数に基づくオントロロジカルモデルを用いて、確率的量子データを表現するフレームワークを提案する。このフレームワークにより、量子力学の実在的解釈が可能となる。有限な量子準備および測定統計の集合が、3種類の異なる要因分解法によってモデル化可能であることを示し、確率的でないモデルが決定論的になる方法を示し、古典的量子系シミュレーションに関連する最小限のオントロジカル状態表現を検討する。

ABSTRACT

Ontological models are attempts to quantitatively describe the results of a probabilistic theory, such as Quantum Mechanics, in a framework exhibiting an explicit realism-based underpinning. Unlike either the well known quasi-probability representations, or the "r-p" vector formalism, these models are contextual and by definition only involve positive probability distributions (and indicator functions). In this article we study how the ontological model formalism can be used to describe arbitrary statistics of a system subjected to a finite set of preparations and measurements. We present three models which can describe any such empirical data and then discuss how to turn an indeterministic model into a deterministic one. This raises the issue of how such models manifest contextuality, and we provide an explicit example to demonstrate this. In the second half of the paper we consider the issue of finding ontological models with as few ontic states as possible.

研究の動機と目的

• 有限な量子準備および測定統計の集合を、正の確率分布に基づくオントロロジカルモデルを用いて表現する形式的体系を構築すること。
• 離散的かつ有限な状況における、オントロロジカルモデルのキーフィーチャーである文脈性と欠損性（deficiency）がどのように生じるかを調査すること。
• 任意の確率的でないオントロロジカルモデルが、実験的予測を保持したまま決定論的モデルに変換可能であることを示すこと。
• 与えられた量子データを表現するために必要な最小限のオントロジカル状態の数を特定し、量子系の古典的シミュレーションへの影響を検討すること。
• 完全正則行列因子分解（completely positive matrix factorization）および非負値行列因子分解（NMF）などの行列因子分解技術と、オントロロジカルモデルフレームワークを結びつけることにより、圧縮と構造的洞察を可能にすること。

提案手法

• 有限な準備および測定手順からの実験的データを行列 D として表現し、D_ij = P(m_j | p_i) により、準備 i に対して結果 j が得られる確率を与える。
• D のオントロロジカル因子分解（OF）を D = M P として定義し、M は準備からオントロジカル状態への確率を表す行列、P は測定結果のインジケータ関数を表す行列とする。
• 特異値分解（SVD）に基づくものと非負値行列因子分解（NMF）を用いるものも含む、3種類の異なる因子分解法を提案し、これらが任意の実験的データ行列 D を表現可能であることを示す。
• ベルにインspiredした変換技術を用いて、確率的でないオントロロジカルモデルを、追加のオントロジカル状態を導入することで決定論的モデルに変換する。
• 欠損性（deficiency）の概念を用いて文脈性を特徴づけ、ある準備を支持するオントロジカル状態の集合が、特定の測定結果を保証するのに必要な集合よりも厳密に小さいことを示す。
• 完全正則行列因子分解およびNMFとの関係を活用し、必要なオントロジカル状態の数（Ω）の最小値を分析し、cpランクと結びつける。これにより、量子データ表現の圧縮可能性が示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な量子準備および測定統計の集合は、正の確率分布とインジケータ関数のみを用いてオントロロジカルモデルで表現可能か？
• RQ2 離散的かつ有限なオントロロジカルモデルフレームワークにおいて、文脈性と欠損性（deficiency）を明示的に示す方法は何か？
• RQ3 実験的予測を保持したまま、確率的でないオントロロジカルモデルを決定論的モデルに変換することは可能か？
• RQ4 与えられたデータテーブルを表現するために必要な最小限のオントロジカル状態の数は何か？また、これは行列因子分解のランクとどのように関係するか？
• RQ5 非負値行列因子分解（NMF）および完全正則因子分解の技術を用いて、オントロロジカルモデルを圧縮し、量子系の古典的シミュレーションに役立てることができるか？

主な発見

• 有限な準備および測定確率のデータテーブルは、非負の M および P を用いた行列因子分解 D = M P により、オントロロジカルモデルで表現可能である。
• 特異値分解（SVD）、完全正則分解（CP分解）、非負値行列因子分解（NMF）の3種類の異なる因子分解法を用いて、このようなモデルを構築可能であり、NMFアプローチでは必要に応じて列確率的性質（column stochasticity）を保持できる。
• ベルの構成に類似した技術を用いて、確率的でないオントロロジカルモデルを、追加のオントロジカル状態を導入することで決定論的モデルに変換可能である。
• 文脈性は、欠損性（deficiency）という性質として現れ、ある準備を支持するオントロジカル状態の集合が、特定の測定結果を保証するのに必要な集合よりも厳密に小さいことによって示される。
• オントロジカル状態の数 Ω は、データ行列 D の cpランクに一致し、cpランクの上界が、ヒルベルト空間次元に関して多項式サイズのオントロロジカルモデルが一部の量子データ族に適用可能である可能性を示唆する。
• NMFとの関係から、オントロロジカルモデルは測定データを根本的で解釈可能な成分に分解するものと解釈でき、画像解析における特徴の同定に類似した役割を果たす。