[論文レビュー] Continuity and injectivity of optimal maps for non-negatively cross-curved costs

Alessio Figalli, Young‐Heon Kim+1 more|Nov 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、コスト関数の非負のクロス曲率のもとで、最適輸送写像の連続性と単射性を確立し、源および標的密度が0および無限大から有界に離れている場合、最適写像が内部で連続的かつ可微分（すなわち、$C^1$）であることを証明する。主な結果は、アレクサンドロフ型推定と修正コスト関数への変換に基づき、厳密な$c$-凸性および単一の$c$-部分微分を導出し、写像の単射性と連続性を保証する。

ABSTRACT

Consider transportation of one distribution of mass onto another, chosen to optimize the total expected cost, where cost per unit mass transported from x to y is given by a smooth function c(x,y). If the source density f^+(x) is bounded away from zero and infinity in an open region U' \subset R^n, and the target density f^-(y) is bounded away from zero and infinity on its support clV \subset R^n, which is strongly c-convex with respect to U', and the transportation cost c is non-negatively cross-curved, we deduce continuity and injectivity of the optimal map inside U' (so that the associated potential u belongs to C^1(U')). This result provides a crucial step in the low/interior regularity setting: in a subsequent paper [15], we use it to establish regularity of optimal maps with respect to the Riemannian distance squared on arbitrary products of spheres. The present paper also provides an argument required by Figalli and Loeper to conclude in two dimensions continuity of optimal maps under the weaker (in fact, necessary) hypothesis A3w [17]. In higher dimensions, if the densities f^\pm are Hölder continuous, our result permits continuous differentiability of the map inside U' (in fact, C^{2,α}_{loc} regularity of the associated potential) to be deduced from the work of Liu, Trudinger and Wang [33].

研究の動機と目的

• コスト関数の非負のクロス曲率のもとで、最適輸送写像の連続性と単射性を確立すること。
• 特に、球面の積上のリーマン計量の二乗距離に対して、低・内部正則性設定への正則性結果の拡張を図ること。
• 2次元においてより弱い条件（A3w）のもとで$C^1$正則性を示すための重要な一歩を提供すること。
• リウ、トゥディンガー、ワンの先行研究に基づき、密度がホルダー連続である場合に、ポテンシャルの高階正則性（$C^{2,eta}_{\text{loc}}$）を導出すること。

提案手法

• コスト指数座標とアフィン正規化を用いて、修正コスト関数$\tilde{c}$への変換を実行し、解析を簡素化する。
• アレクサンドロフ型推定を適用し、モンジュ＝アンペール測度を制御し、$\tilde{c}$-モンジュ＝アンペール測度と比較する。
• 強く$c$-凸な標的および部分微分の境界挙動を用いて、多重接触を除外する。
• 部分微分内の露出点と接する超平面を用い、小さな断片における体積推定を通じて矛盾を導出する。
• $c$-凸性および厳密な$c$-凸性を用いて、単一の$c$-部分微分を保証し、写像の$C^1$正則性を意味する。
• 非負のクロス曲率条件（B2u）および密度の有界性を根拠に、推定の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数が非負のクロス曲率をもつとき、最適輸送写像が連続的かつ単射的であるための条件は何か？
• RQ2 2次元において、より弱い条件（A3w）のもとで、最適写像の連続性を確立できるか？
• RQ3 内部領域における$c$-部分微分の構造は、最適写像の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 修正コスト関数$\tilde{c}$は、厳密な$c$-凸性および連続性を導くために果たす役割は何か？
• RQ5 アレクサンドロフ型推定を用いて、非単一の$c$-部分微分を除外し、$C^1$正則性を保証できるか？

主な発見

• コスト関数が非負のクロス曲率であり、密度が0および無限大から有界に離れている場合、最適写像は領域$U^\lambda$の内部で連続的かつ単射的である。
• $x \in U^\lambda$のすべての$x$に対して、$c$-部分微分$\partial^c u(x)$は単一の集合であるため、$u \in C^1(U^\lambda)$が成り立つ。
• ポテンシャル$u$の厳密な$c$-凸性が確立され、$x, \tilde{x} \in U^\lambda$が異なる場合、$\partial^c u(x) \cap \partial^c u(\tilde{x}) = \emptyset$が成り立つ。
• 小さな断片$K_\varepsilon$における体積推定に基づく矛盾の議論により、$\tilde{c}$-部分微分が非単一集合を支持することはできず、アレクサンドロフ推定に反する。
• この結果により、密度がホルダー連続である場合、リウ、トゥディンガー、ワンの先行研究を踏まえて、ポテンシャル$u$の$C^{2,\alpha}_{\text{loc}}$正則性が示唆される。
• この証明は、リーマン計量の二乗距離コストを用いた球面の積上での最適写像の正則性を確立するための重要な要素を提供する。