[論文レビュー] Continuity of functions belonging to the fractional order Sobolev-Grand Lebesgue Spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、古典的分数階ソボレフ不等式を分数階ソボレフ-グランドルベーグ空間における関数へ拡張し、ガルシア＝ロデミッヒ＝ラムゼー不等式を用いて連続性推定を確立し、新たなオルリッチ＝ソボレフ埋め込み定理を導入する。主な貢献は、グランドルベーグ空間の基本関数と、差商の$L_p$-ノルムから導かれる新規の指数的オルリッチノルムを組み合わせた、多次元長方形モジュラス連続性の境界を与えることにある。

ABSTRACT

We extend in this article the classical Sobolev inequalities for the module of continuity for the functions belonging to the integer order Sobolev's space on the Sobolev-Bilateral Grand Lebesgue spaces. As a consequence, we deduce the fractional Orlicz-Sobolev imbedding theorems and investigate the rectangle module of continuity of non-Gaussian multiparameter random fields.

研究の動機と目的

• 整数階ソボレフ空間からの古典的ソボレフ連続性推定を、分数階ソボレフ-グランドルベーグ空間への拡張すること。
• グランドルベーグ空間に属する関数に対する、非整数階オルリッチ＝ソボレフ埋め込み定理を新たに導出すること。
• 提案された枠組みを用いて、非ガウス型多パラメータ確率場の長方形モジュラス連続性を調査すること。
• 非整数階ソボレフ型ノルムに対する、多次元的および重み付き設定へのガルシア＝ロデミッヒ＝ラムゼー不等式の一般化。
• 基礎となるグランドルベーグ空間の基本関数を用いた、連続性モジュラスの鋭いスケーリングおよび拡大推定の確立。

提案手法

• 差商 $G_\alpha[f](x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{|x-y|^\alpha}$ の $L_p$-ノルムを測度 $\nu(dx,dy) = \frac{dxdy}{|x-y|}$ に関して用いて、分数階ソボレフ-グランドルベーグノルムを定義する。
• 多次元ガルシア＝ロデミッヒ＝ラムゼー不等式を適用し、逆ヤング＝オルリッチ関数を含む積分を用いて、長方形モジュラス連続性 $\Omega[f](\vec{\delta})$ を評価する。
• 差商の $L_p$-ノルムである $\tau_{\vec{\alpha}}(p)$ の共役関数に基づき、$p \mapsto p \log \tau_{\vec{\alpha}}(p)$ を用いて、指数的オルリッチ関数 $N_{\vec{\alpha}}(u)$ を構成する。
• 基礎関数 $\phi(G\psi, \delta) = \sup_{p \in \text{supp}(\psi)} \left[ \frac{\delta^{1/p}}{\psi(p)} \right]$ を用いて、基礎となる空間の幾何構造に基づき連続性モジュラスを特徴付ける。
• 拡大作用素 $T_\lambda f(x) = f(\lambda x)$ を用いてスケーリング不変性を確立し、$||T_\lambda f||_{U(\alpha,p)} = \lambda^{\alpha - 1/p} ||f||_{U(\alpha,p)}$ を示し、$\delta \to 0^+$ における漸近的挙動を導出する。
• 長方形連続性モジュラスに関して、$\Omega[f](\vec{\delta}) \leq C(\vec{\alpha},d) \frac{\vec{\delta}^{\vec{\alpha}} \cdot ||f||_{L(N_{\vec{\alpha}})}}{\phi(G\tau_{\alpha}, \prod_{k=1}^d \delta_k)}$ という主要な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的分数階ソボレフ連続性推定を、分数階ソボレフ-グランドルベーグ空間に属する関数へどのように一般化できるか。
• RQ2 非整数階ソボレフ空間にグランドルベーグノルムを適用した場合の、正確なオルリッチ＝ソボレフ埋め込み定理の形は何か。
• RQ3 関数の長方形モジュラス連続性と、基礎となるグランドルベーグ空間の基本関数との関係は何か。
• RQ4 ガルシア＝ロデミッヒ＝ラムゼー不等式を、多次元的・重み付き・非整数階ソボレフ型ノルムへ拡張することは可能か。
• RQ5 メッシュサイズ $\delta \to 0^+$ における連続性モジュラスの漸近的挙動は何か。また、ノルムのスケーリング特性にどのように依存するか。

主な発見

• 本稿は、新たな分数階オルリッチ＝ソボレフ不等式を確立した：$\Omega[f](\vec{\delta}) \leq C(\vec{\alpha},d) \frac{\vec{\delta}^{\vec{\alpha}} \cdot ||f||_{L(N_{\vec{\alpha}})}}{\phi(G\tau_{\alpha}, \prod_{k=1}^d \delta_k)}$。これは長方形モジュラス連続性に対する鋭い境界を与える。
• 基礎関数 $\phi(G\psi, \delta) = \sup_{p \in \text{supp}(\psi)} \left[ \frac{\delta^{1/p}}{\psi(p)} \right]$ は、グランドルベーグ空間における連続性モジュラスを特徴付ける。ノルムの挙動とモジュラス連続性の関係を結ぶ。
• 拡大作用素 $T_\lambda$ に対して、ノルムは $||T_\lambda f||_{U(\alpha,p)} = \lambda^{\alpha - 1/p} ||f||_{U(\alpha,p)}$ とスケーリングされ、$\frac{\omega(f, \lambda\delta)}{(\lambda\delta)^{\alpha - 1/p}} \leq \gamma(\delta) ||f||_{U(\alpha,p)}$ が成り立ち、$\delta \to 0^+$ のとき $\gamma(\delta) \to 0$ となる。
• 差商ノルムの成長を捉えるために、$|u| > 3$ に対して $N_{\vec{\alpha}}(u) = e^{[p \log \tau_{\vec{\alpha}}(p)]^*(\log|u|)}$ と定義される指数的オルリッチ関数 $N_{\vec{\alpha}}(u)$ が構成され、指数的オルリッチ空間への埋め込みを可能にする。
• 不等式 $\Omega[f](\vec{\delta}) \leq \inf_{\vec{\alpha}} \left[ C(\vec{\alpha},d) \frac{\vec{\delta}^{\vec{\alpha}} \cdot ||f||_{L(N_{\vec{\alpha}})}}{\phi(G\tau_{\alpha}, \prod_{k=1}^d \delta_k)} \right]$ は、ベクトルパラメータ $\vec{\alpha}$ について最小化することで、より洗練され、最適な推定を与える。
• 本手法により、ガルシア＝ロデミッヒ＝ラムゼー不等式の積分が収束する場合、非ガウス型多パラメータ確率場について、確率1で連続性が保証される。ガウス型の場合の結果を拡張する。