[論文レビュー] Module of continuity for the functions belonging to the Sobolev-Grand Lebesgue Spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Sobolev-グランドルベーグ空間 $W^{1}G(\psi)$ における関数に対して、古典的なソボレフの連続性不等式を一般化し、勾配の $G(\psi)$-ノルムを用いて、連続性モジュラス $\omega(f,\delta)$ の新たな評価を確立する。主な結果は不等式 $\omega(f,\delta) \leq \lambda^{(\psi)}(\delta) \cdot \|\nabla f\|_{G\psi}$ であり、ここで $\lambda^{(\psi)}(\delta)$ は $p$-伝導度と重み関数 $\psi$ に依存する。正確性は構築された具体例により示される。

ABSTRACT

In this short article we generalize the Sobolev's inequalities for the module of continuity for the functions belonging to the classical Lebesgue space on the (Bilateral) Grand Lebesgue spaces. We construct also some examples in order to show the exactness of obtained results.

研究の動機と目的

• 古典的なソボレフ連続性不等式を、Sobolev-グランドルベーグ空間 $W^{1}G(\psi)$ のより広範な枠組みへ拡張すること。
• 勾配が $G(\psi)$-ノルムに属する場合の、連続性モジュラス $\omega(f,\delta)$ の鋭い、最適な評価を確立すること。
• 関数空間の設定において、導出された不等式の正確性を明示的な反例により示すこと。
• 特に臨界的パrameter領域において、これらの一般化された関数空間における埋め込み作用素の非コンパクト性を調査すること。

提案手法

• 正の連続関数 $\psi$ を $(A,B)$ 上に定めるとき、ノルム $\|f\|_{G(\psi)} = \sup_{p \in (A,B)} |f|_p / \psi(p)$ を用いてグランドルベーグ空間 $G(\psi)$ を定義する。
• 勾配が $G(\psi)$ に属する関数の空間として、Sobolev-グランドルベーグ空間 $W^{1}G(\psi)$ を定義する。
• コンパクト集合 $K \subset D$ の $p$-伝導度 $c_p(K)$ を用いて、関数 $\gamma_p(x,y) = c_p[(D\setminus x)\setminus y]^{-1/p}$ を定義し、関数の振動を制御する。
• $\Lambda_p(\delta) = \sup_{|x-y| \leq \delta} \gamma_p(x,y)$ および $\lambda^{(\psi)}(\delta) = \inf_{p \in \text{supp}(\psi)} \left[ \Lambda_p(\delta) \cdot \psi(p) \right]$ を定義し、これが主要なモジュラス評価を形成する。
• 既知の $L_p$-評価 $\omega(f,\delta) \leq \Lambda_p(\delta) \cdot |\nabla f|_p$ と $G(\psi)$-ノルムの定義を用いて、主不等式 $\omega(f,\delta) \leq \lambda^{(\psi)}(\delta) \cdot \|\nabla f\|_{G\psi}$ を証明する。
• 関数 $f(x) = |x| |\log|x||^\beta L(1 + |\log|x||)$ for $|x| \leq 1$ を用いた具体的な例を構築し、埋め込みの鋭さと非コンパクト性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なソボレフ連続性不等式は、グランドルベーグ空間 $G(\psi)$ における関数へ拡張可能か？
• RQ2 勾配が $L_p$ ではなく $G(\psi)$ に属する場合、連続性モジュラスの評価の最適な形は何か？
• RQ3 $p$-伝導度と重み関数 $\psi$ をどのように組み合わせれば、鋭いモジュラス推定を得られるか？
• RQ4 Sobolev-グランドルベーグ空間 $W^{1}G(\psi)$ からモジュラル空間 $H(\eta)$ への埋め込み作用素が非コンパクトである条件は何か？
• RQ5 導出された評価 $\omega(f,\delta) \leq \lambda^{(\psi)}(\delta) \cdot \|\nabla f\|_{G\psi}$ は鋭いか？反例によりこれを示せるか？

主な発見

• 主たる結果は不等式 $\omega(f,\delta) \leq \lambda^{(\psi)}(\delta) \cdot \|\nabla f\|_{G\psi}$ であり、ここで $\lambda^{(\psi)}(\delta) = \inf_{p \in \text{supp}(\psi)} \left[ \Lambda_p(\delta) \cdot \psi(p) \right]$ であり、これは古典的なソボレフ不等式を一般化する。
• 重み関数 $\psi(p) = p^{-\beta}$ の場合、不等式は古典的なモリーサ型評価 $\omega(f,\delta) \leq C \cdot \delta^{1-d/p} \cdot |\nabla f|_p$ に還元され、$L_p$ 空間における既知の結果を回復する。
• 臨界的ケース $\psi(p) = (b-p)^{-\beta - 1/b}$（$b > d$）において、$W^{1}G(\psi)$ からノルム $\|u\|_{H(\eta)} = \sup_{\delta \in (0,1/e)} \omega(u,\delta)/\eta_{b,\beta}(\delta)$ を持つ空間 $H(\eta_{b,\beta})$ への埋め込み作用素が非コンパクトであることが示される。
• 非コンパクト性は、有界な $W^{1}G(\psi)$-ノルムを持つ関数列 $\{g_h\}$ を構成することにより証明され、$|h(1) - h(2)| \to 0$ のとき $\|g_{h(1)} - g_{h(2)}\|_{H(\eta)} \not\to 0$ となる。ここで $\zeta(h) \geq 2 - 2^{1-1/b} > 0$ である。
• 関数 $f(x) = |x| |\log|x||^\beta L(1 + |\log|x||)$（$|x| \leq 1$）は、$\psi(p) = (b-p)^{-\beta - 1/b}$ のとき $G(\psi)$ に属し、埋め込みの鋭さを示す。
• この結果により、評価 $\omega(f,\delta) \leq \lambda^{(\psi)}(\delta) \cdot \|\nabla f\|_{G\psi}$ が、定数を改善できない意味で最適であることが確認される。