[論文レビュー] Continuity of Plurisubharmonic Envelopes in Non-Archimedean Geometry and Test Ideals (with an Appendix by Jos\'e Ignacio Burgos Gil and Mart\'in Sombra)

Walter Gubler, Philipp Jell+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正標数関数体上の曲線および曲面に対して、非アーベル幾何における多重関数の連続性を、証明戦略において乗数イデアルの代わりにテストイデアルを用いることで確立する。特異点の解消を仮定すると、連続的半正定的計量が非アーベルMonge–Ampère方程式を満たすことを証明する。付録では、トーリックモデルにおけるリトラクション写像が半正定性を保存しない可能性がある反例を提示する。

ABSTRACT

Let L be an ample line bundle on a smooth projective variety X over a non-archimedean field K. For a continuous metric on L, we show in the following two cases that the semipositive envelope is a continuous semipositive metric on L and that the non-archimedean Monge-Amp\`ere equation has a solution. First, we prove it for curves using results of Thuillier. Second, we show it under the assumption that X is a surface defined geometrically over the function field of a curve over a perfect field k of positive characteristic. The second case holds in higher dimensions if we assume resolution of singularities over k. The proof follows a strategy from Boucksom, Favre and Jonsson, replacing multiplier ideals by test ideals. Finally, the appendix by Burgos and Sombra provides an example of a semipositive metric whose retraction is not semipositive. The example is based on the construction of a toric variety which has two SNC-models which induce the same skeleton but different retraction maps.

研究の動機と目的

• 正標数体上の曲線および曲面に対して、非アーベル幾何における多重関数の包絡の連続性を確立すること。
• 証明フレームワークにおいて乗数イデアルをテストイデアルに置き換えることで、正標数における非アーベルCalabi–Yau問題を拡張すること。
• 特にMonge–Ampère方程式との関係において、トーリックモデルにおけるリトラクション写像と半正定的計量の挙動を調査すること。
• 高次元トーリックモデルにおいて、半正定的計量のリトラクションが半正定的でなくなる可能性がある反例を提供すること。
• 特異点の解消を仮定した場合、特徴値ゼロの設定を超えて、連続的半正定的解の存在結果を一般化すること。

提案手法

• Boucksom, Favre, Jonssonの戦略を、正標数設定に対応させるために乗数イデアルの代わりにテストイデアルを用いるように適応する。
• SNCモデルのスケルトン上の区分的線形構造を用いて、包絡やMonge–Ampère測度などの複素ポテンシャル理論的対象を定義・分析する。
• モデル計量におけるゼロ関数への一様収束を用いて、半正定的包絡P(∥∥)の連続性を、漸近的テストイデアルによって証明する。
• 特異点の解消とモデル関数の降下技術を用いて、曲線から曲面への結果の拡張を実現する。
• 2つのSNCモデルが同型のスケルトンを持つが、同値でないリトラクション写像を持つP²_Kの例を用いて、明示的な反例を構成する。
• トーリックpsh関数がニュートン多面体上の凹関数と同一視されることを用いて、リトラクションにおける半正定性の喪失を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数体上の非アーベル幾何において、連続的計量の半正定的包絡は連続的であるか？
• RQ2 特異点の解消を仮定した場合、正標数における非アーベルMonge–Ampère方程式は連続的半正定的計量によって解けるか？
• RQ3 トーリックモデルに付随するリトラクション写像は計量の半正定性を保存するのか、それとも半正定的計量を非半正定的計量に写像する可能性があるのか？
• RQ4 解が粗いモデルのリトラクション写像を通じて因数分解されない場合、解は精錬されたモデルのリトラクション写像を通じて因数分解されるのか？
• RQ5 非アーベル多重関数理論において、正標数の設定で乗数イデアルの理論をどの程度までテストイデアルに置き換えることができるか？

主な発見

• 曲線について、非アーベル体上の連続的半正定的包絡P(∥∥)は連続的である。これはThuillierの結果を連続的設定に拡張するものである。
• 完全体の正標数関数体上の曲線の関数体を定義する曲面について、特異点の解消を仮定すれば、半正定的包絡は連続的である。
• 曲線の場合および高次元における特異点の解消を仮定した場合、非アーベルMonge–Ampère方程式は連続的半正定的解を持つ。
• 付録では、同じスケルトンを誘導するが異なるリトラクション写像を持つ2つのSNCモデルを備えたトーリック多様体の例を構成し、半正定的計量のリトラクションが半正定的でない可能性があることを示している。
• 特定の例により、Monge–Ampère方程式の解ϕ′がϕ′ = ϕ′ ◦ pXを満たさないことが示され、次元≥2では因数分解性が成立しないことが判明した。
• Monge–Ampère方程式の解は精錬されたモデルのリトラクションを通じて因数分解される。これは、粗いモデルへの一般化が可能である可能性を示唆している。